En annan sorts ytintegral-problem

Beräkna ∫∫F*N ds där F=(2−x^2yz+y^3,xy^2z+ye^z,y^2+z−e^z) och Y är den del av konytan
y^2 + z^2 = x^2 som ligger mellan planen x = 1 och x = 2. Normalen pekar bort från x-axeln.

Jag fick hjälp av en kompis men förstår ändå inte varför han väljer just den första termen 2−x^2yz+y^3 och inte den andra eller tredje. Är det för att vi har att det ligger mellan planen x=1 och x=2?
Och sen undrar jag om min kompis har beräknat rätt?

Först har de två dubbelintegraler:
∫∫2-yz+y^3 dydz-∫∫2-4yz+y^3dydz

och den första dubbelintegralen har gränserna: y^2+z^2<=1 och de går över till polära koordinater: y=rcostheta och z=rsintheta, 0<=r<=1, 0<=theta<=2pi

och den andra dubbelintegralen har gränserna y^2+z^2<=4 och de går över till polära och får y=rcostheta och z=rsintheta, 0<=r<=2, 0<=theta<=2pi

Sen är det en vanlig integralsberäkning och då får de att den första dubbelintegralen är 2pi och den andra 8pi så svaret på frågan är -6pi

Tack på förhand!

Din vän har troligtvis även beräknat divergensen över området va?

Det blir som i din förra integral där du hade ett område på randen som inte ska räknas in i integralen. Det är därifrån integralerna ∫∫ 2-yz+y³dydz och ∫∫ 2 - 4yz + y³dydz kommer. Dessa kan du beräkna på samma sätt som du gjorde i förra uppgiften, inga variabelbyten är nödvändiga.

Nej han gjorde exakt såhär och det var fel

Men ska jag beräkna normalen för båda? Då får jag väll fyra termen för 2p från den först vilket leder till 4 termer?

Okej, men du behöver beräkna divergensen över området. Det är precis samma som förra uppgiften, bara ett annat fält och en annat område.

Normalerna blir väl bara (1, 0, 0) och (-1, 0, 0) för de två "hålen" i området.

Jag räknade ut F*n ds och fick:
Normalen som är (1,0,0):
∫∫2-yz+y^3 dydz

Normalen som är (-1,0,0):
-∫∫2-4yz+y^3 dydz

Och nu vet jag inte hur jag ska fortsätta. Hade att gränserna var: y^2+z^2<=1 för den första och y^2+z^2<=4 för den andra men nu vet jag inte vad jag ska göra. Ska jag gå över till polära koordinater?

Leta efter symmetrier. Både yz och y³ blir noll i båda integralerna. Sedan har du bara kvar integraler som kan tolkas som arean av området.

Okej om vi tänker att ∫∫1 dxdy blir 2pi så blir väll ∫∫2 dydz =4pi

och den andra blir ju då: -∫∫2 dydz=-4pi?

Tänker jag rätt?

Nej ∫∫2 dydz = 2pi över det första området där y² + z² ≤ 1. Arean på en cirkel med radien 1 är pi. Sedan den andra integralen -∫∫ 2dydz = -8pi eftersom arean på området y² + z² ≤ 4 är en cirkeln med radien 2 och därmed arean 4pi.

Jaha då trodde jag fel

Men hur ska jag göra nu?

Jag har 2pi samt arean som du skrev 2pi från den första integralen och 8pi samt 4pi från den andra integralen. Hur ska jag göra nu?

Ja du behöver beräkna divergensen över området också. Du ska alltså beräkna

∫∫∫ ∇·F dydzdx

över området, sedan måste du subtrahera de integraler du nyss beräknade från detta resultat för att få flödesintegralen du ska beräkna.

Oj vilken lång uträkning då

Men hur beräknar jag divergensen nu? Först integrerar jag över dx men sen då? Vad blir gränserna till y och z?

Nej då, denna beräkning är ju riktigt nice

Du har att ∇·F = -2xyz + 2xyz + e^z + 1 - e^z = 1. Alltså ska du beräkna integralen

∫∫∫ 1 dxdydz

vilket är volymen av området. Denna kan man beräkna helt geometriskt.