Ytintegral

Hej, jag har en ytintegral som jag är osäker på om jag räknat rätt.

Beräkna ∫∫F*N ds där F=(3x^3+y^2-z,x^2+y^3+z,x^3+z+1) och ytan är z=4-4x^2-y^2,z>=0

Jag låter z=0 och får att 1=x^2+y^2/4

Jag räknar ut div F och får: 12x^2+3y^2+1 och räknar ut integralen med avseende på z med gränsen från 0 till 4-4x^2-y^2:

∫∫(∫(12x^2+3y^2+1)dz)dxdy=∫∫(12x^2+3y^2+1)(4-4x^2-y^2)dxdy

och när jag multiplicerar de här två termerna får jag:

∫∫(-48x^4-24x^2y^2+44x^2-3y^4+11y^2+4)dxdy och nu går jag över till polära koordinater och får x=rcostheta och y=2rsintheta, 0<=theta<=2pi och 0<=r<=1 och funktionaldeterminanten blir: 2r

och efter variabelbytet får jag:
∫∫(-96r^5+88r^3+8r)drdtheta

Det jag undrar är om jag tänker och räknar rätt??

Tack på förhand!

Om du har skrivit fältet korrekt så har du beräknat divergensen fel. Jag har inte kontrollerat om du fått korrekt efter variabelbytet, men ett tips för att förenkla hela beräkningen är att byta variabler innan du integrerar över z.

Tänk också på att du får med flödet som går nedåt ut genom ellipsen z = 0, 4x² + y² = 4 när du använder dig av divergenssatsen.

Nej har skrivit fel fält, det korrekta är:
F=(4x^3+y^2-z,x^2+y^3+z,x^3+z+1)

[quote=innesko|59238558]Om du har skrivit fältet korrekt så har du beräknat divergensen fel. Jag har inte kontrollerat om du fått korrekt efter variabelbytet, men ett tips för att förenkla hela beräkningen är att byta variabler innan du integrerar över z.


Vad menar du med det här?

Ska jag beräkna något mer?

Du får med flödet ut genom hela randen av området du integrerar över när du integrerar divergensen. Men om du tänker efter så ser du att detta är en större yta än som dom efterfrågar. Därför måste du dra bort det flödet som går genom ytan du inte är intresserad av.

Jaha då måste jag väll välja att 4x^2+y^2<=4, z=0 och n är normalen så då parametriserar jag x=u, y=v och z=0 då får jag 4u^2+v^2<=4 och r=(u,v,0) så r'_u=(1,0,0) och r'_v=(0,1,0) och r'_u x r'_v=(0,0,1)

och integralen blir väll negativ nu eftersom den pekar bort från x-axeln?

Tänker jag rätt?

Ja, du tänker väl i princip rätt. Men det går att inse lite snabbare vad integralen blir, notera att din parametrisering inte gör någonting mer än att du kallar x för u och y för v. Eftersom ytan du integrerar över är helt platt så blir det på det sättet, det blir bara en helt vanlig dubbelintegral man får direkt. Sedan är n = (0, 0, -1).

Ja det är sant

Då blir väll min integral ∫∫F*nds=∫∫(4x^3+y^2,x^2+y^3,x^3+1)(0,0,-1)ds=-∫∫(x^3+1)

Men hur ska jag integrera nu dvs med vilka gränser?

Jag hade att 4x^2+y^2=4 men då blir det väll samma som förra dvs x=rcostheta och y=2rsintheta?

Försök alltid leta efter symmetrier. Ett litet tips här är att integralen av termen x³ kan bestämmas direkt med hjälp av symmetrier. Sedan är integralen ∫∫ 1 dxdy endast arean på ytan du integrerar över.

x^3 är udda och då betyder det väll att den termen blir noll och 4= 4x^2 +y^2 är en ellips och en ellips radie är pi*a*b men fattar inte hur jag ska hitta arean av -∫∫ 1 dxdy


Ska jag gå över till polära koordinater nu och få x=rcostheta och y=2rsintheta och då får jag integralen rdrdtheta och vanlig beräkning sen?

Alltså det är ju arean av 4x² + y² ≤ 4 du ska hitta arean av. Denna area är alltså 2pi, så därför blir -∫∫ 1 dxdy = -2pi.

Okej. Jag hade fått 20pi på den första beräkningen och minus (-2pi) blir 22pi och då har jag beräknat uppgiften?