Spinnbankoppling

Hej,

Har svårt att förstå den här frågan och skulle uppskatta lite hjälp.

Spinnbankoppling beskrivs med en operator som mäter projektionen av elektronens spinn på orbitalvinkelmomentet
H(SO) ∝ (1/r^3) L*S

Det totala vinkelmomentet J, fås genom att orbitalvinkelmomentet L kopplas med elektronernas spinn S enligt: J=L+S.

Visa att (J,L*S)=0 och (J^2,L*S)=0. Börja med att förklara varför (L,S)=0

Är aningen ringrostig om detta. Finner det också lite svårt att inte skriva för mycket och detaljerat om sånt som du nog redan har hyfsat bra beskrivet i ditt kursmaterial. Detta blir andra försöket.

Börjar med att editera lite i formlerna ditt inlägg, för att de ska bli snyggare och mer standard.

(Denna form gäller bara i en atom med bara två laddningar: atomkärnan + EN elektron. Fler detaljer i https://en.wikipedia.org/wiki/Spin%E...it_interaction.)


1. [L,S]=0 därför att operatorerna L och S opererar på olika variabler, ungefär på liknande sätt som att olika partiklar beskrivs av olika variabler. EN partikels p och r kan inte mätas samtidigt därför att [px,x]≠0 etc, men inget hindrar att du mäter en partikels r exakt samtidigt som du mäter en annan partikels p exakt.

L opererar på partikelns r och p, medan S opererar på spinrummet.

[L,S]=0 betyder att alla komponenter kommuterar, dvs [Lx,Sx]=0, [Lx,Sy]=0, etc, eller [Li,Sj]=0 där i och j är x,y eller z. Dvs
LiSj = SjLi

---

Olika partiklars Ls komponenter uppfyller dock samma sorts kommuteringsrelationer:
[Lx,Ly]=iħLz, [Ly,Lz]=iħLx, [Lz,Lx]=iħLy
Samma gäller för S:
[Sx,Sy]=iħSz, [Sy,Sz]=iħSx, [Sz,Sx]=iħSy

---

2. [J,L•S] = [L+S,L•S] = [L,L•S] + [S,L•S]
[L,L•S] = L(L•S) - (L•S)L
x-komponenten av [L,L•S] blir
[Lx,LxSx+LySy+LzSz] =
= LxLxSx-LxSxLx + LxLySy-LySyLx + LxLzSz-LzSzLx
= LxLxSx-LxLxSx + LxLySy-LyLxSy + LxLzSz-LzLxSz
= 0 + [Lx,Ly]Sy - [Lz,Lx]Sz
= iħLzSy - iħLySz
På samma sätt kan man visa att x-komponenten av [S,L•S] blir
[Sx,LxSx+LySy+LzSz] = ... = iħSzLy - iħSyLz =
= -iħLzSy + iħLySz
Dvs summan av de båda x-komponenterna blir 0!

Samma kan upprepas för y resp z-komponenterna, och detta blir 0. (Symmetriskäl)

Dvs [J,L•S] = 0

3. [J^2,L•S] = [Jx^2+Jy^2+Jz^2,L•S]
Använd att
[A^2,B] = A^2B - BA^2 = A(AB-BA) + (AB-BA)A =
= A[A,B] + [A,B]A
Dvs t ex
[Jx^2,L•S] = Jx[Jx,L•S] + [Jx,L•S]Jx = 0 + 0 = 0.

Alltså taaaack så mycket för hjälpen!!! Så snällt

Hej Har en till fråga ifall det är ok? Jag förstår inte hur jag ska tänka på den. Uppskattade verkligen din hjälp!

På grund av [J^2,L•S]=0 har J^2 och L•S operatorerna samma egenfunktioner. Heliumkatjonen i sitt 2p-tillstånd genomgår spinnbankoppling. Beskriv hur de 6 stycken degenererade 2p-tillstånden, genom spinnbankoppling, delar upp sig i två grupper av fyra och två degenererade tillstånd, respektive.
Beräkna ⟨L•S⟩ för dessa två grupperna. Ledtråd: J^2|J,Mj⟩= ħ^2 J(J+1)|J,Mj⟩, dito för L^2 och S^2.

Är det här fortfarande aktuellt? Är det något mer man kan antas få veta, eller måste man härleda det? Tänker ffa på att
|l-s| ≤ j ≤ l+s
https://en.wikipedia.org/wiki/Total_...quantum_number
Ok, jag antar det iaf tills vidare.

---

⟨L•S⟩... Ett standardtrick:
J^2 = (L+S)^2 = L^2+2L•S+S^2
--> L•S = (1/2)(J^2-L^2-S^2)

Givet att tillståndet är |j,mj⟩ har vi alltså (notera att L^2 och S^2 och J^2 alla kommuterar):
⟨L•S⟩ = ⟨(1/2)(J^2-L^2-S^2)⟩ =(ħ^2/2)(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))
oavsett värdet på mj.

Med l=1 (för p) och s=1/2 har då två fall:

1. j=|1-1/2|=1/2 med mj=-1/2 resp mj=1/2
Dvs 2 fall med
⟨L•S⟩ = (ħ^2/2)( (1/2)(3/2) - 1•2 - (1/2)(3/2) ) = -ħ^2

2. j=1+1/2=3/2 med mj=-3/2, mj=-1/2, mj=1/2 eller mj=3/2
Dvs 4 fall med
⟨L•S⟩ = (ħ^2/2)( (3/2)(5/2) - 1•2 - (1/2)(3/2) )= ħ^2/2

... om jag nu inte har räknat fel nånstans.

Det är onekligen stor variation i uppgifternas svårighetsgrad på detta forum!