Varför saknar normalfördelningsfunktionen primitiv funktion

Hej!
Jag undrar varför normaldelningsfunktionen saknar primitiv funktion
1/(s*sqrt(2*pi))*e^(-0.5*((x-m)/s)^2)
Bild på funktionen: https://postimg.org/image/dalgnzfn5/
Med ett integrationstecken :P
Där s är sigma och m är my.
Jag tänker att man borde kunna integrera funktionen enkelt. Eftersom sigma och my är konstanter så är det bara ett x i exponenten att ta hänsyn till.
Borde inte den primitiva funktionen vara: (funktionen som den är nu)/(derivatan av exponenten)
https://postimg.org/image/ves5jdk6z/
På så sätt tar ju den deriverade exponenten i nämnaren ut den deriverade exponenten som flyttas ner enligt kedjeregeln. Och kvar återstår den ursprungliga funktionen.
Jag hoppas att ni förstår vad jag menar.

Jag antar att jag tänker snett någonstans, jag vill bara vet var.

Tack

Funktionen f(x) = e^(-x²) saknar inte primitiva funktioner, ett exempel på en sådan primitiv är

F(x) = ∫_{0, x} e^(-t²) dt.

Deriverar du detta så ser du att du får f(x). Problemet är dock att beskriva de primitiva funktionerna med hjälp av elementära funktioner, vilket är något som är bevisat att det inte går.

Testa ta och derivera den funktion du har skrivit ned som förslag, så ser du att det inte blir korrekt. Tänk på att du måste använda dig av kvotregeln när du deriverar detta.

There we go, det var det jag hade missat, jag tänkte inte alls på kvotregeln