Potentialfält

Hej, jag har fastnat på den här frågan och undrar om nån kan hjälpa mig?

Låt F(x,y)=(−g(t)y,g(t)x), där t=x^2+y^2 och g(t) är av klass C^1 för t>0.
Visa att F är ett potentialfält i varje enkelt sammanhängande öppen mängd Ω som inte innehåller origo om och endast om g(t) = k/t för någon konstant k, dvs. om och endast om􏰂 F = kB.

Vet inte hur jag ska visa det

Tack på förhand!

Så du har vektorfältet

F(x,y) = [(k/x^2+y^2),(k/x^2+y^2)]

Detta är ett potentialfält om F = ∇Φ för någon funktion Φ(x,y) samt om rot(F) = 0.

Hjälper det något?

Tack för ditt svar men undrar om det här är tillräckligt skulle vara tillräckligt? Behöver jag inte lägga till nånting på det du har skrivit?

Du behöver bestämma när det gäller att

d/dx (g(t)x) - d/dy (-g(t)y) = 0

detta är tillräckligt och nödvändigt villkor.

Menar du då att jag ska använda greens formel?

Nej, det menar jag inte. Jag menar att du ska bestämma de g som gör att ekvationen jag skrev blir uppfylld. Det är dessa g som gör att fältet blir konservativt.

Hur ska jag göra det?

Vad får du om du beräknar d/dx (g(t)x) - d/dy (-g(t)y)?

Jaha okej ska först derivera och sen sätta in i den formeln och se vad jag får för värden om jag sätter=0?
Är uppgiften klar sen?

Tack!

Ja det stämmer.

Hej igen

Jag har gjort som du sa dvs jag deriverade båda och la in i ekvationen och fick såhär:

d/dx=(k(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2
d/dY=(k(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2
->d/dx (g(t)x) - d/dy (-g(t)y) = 0 <->(k(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2-(k(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2=0

Men är det här rätt?

Nej det blir inte riktigt rätt. Det du verkar ha visat är att om g(t) = k/t så är fältet konservativt. Men du måste även visa att om fältet är konservativt så är g(t) = k/t.

Därför ska du inte ersätta g med något när du beräknar det uttrycket jag skrev. Utan du kommer få en differentialekvation i g som du får lösa.