Citat:
Ursprungligen postat av
dxdp
Jag undrar hur mycket man får misshandla differentialer egentligen? Säg att vi har följande:
(1) § dx/cos(x) = (1/2)*(ln(1+sin x)-ln(1-sin x)) = ln(tan x + 1/cos x) = ... massa olika.
Om vi nu gör substitutionen:
y = sin x då är dy/(d sin x) = 1 men om man gör följande:
dy/(d sin x) = (dy/dx)(dx/(d sin x)) = (dy/dx)(d sin x/dx)^(-1) så är nu (d sin x)/dx = cos x och (d sin x/dx)^(-1) = 1/cos(x) så så är:
dy/(d sin x) = (dy/dx)/cos(x) vilket ger att dx = d sin(x)/cos(x) så:
§ dx/cos(x) = § dx * (1/cos x) = § (d sin x)/cos(x)*(1/cos(x)) = § d sin x/cos^2 x
Nu om man använder cos^2(x)=1-sin(x)^2 och partialintegrerar får man till slut resultatet i (1). Som synes är resultatet rätt, men när kan man då bara göra att dy/dx = (dx/dy)^(-1)? Lite virrigt men ...
Man kan göra en hel del. T ex:
dx/dt = v
dv/dt = a = konst.
Dividera ledvis och förkorta bort dt:
dx/dv = v/a
a dx = v dv
Integrera:
a (x - x0) = (v^2 - v0^2)/2
vilket är helt korrekt.
(Multiplicera med m så är ma•(x-x0)=F•(x-x) = tillfört arbete, och på högersidan får vi hur mycket detta har ökat rörelseenergin med...)
Varför funkar detta? Byt ut alla derivator mot differenskvoter Δx/Δt osv. Eftersom t ex Δx är ett vanligt tal så får man räkna med det som ett vanligt tal. Och ändå med den speciella egenskapen att differenskvoter ju faktiskt blir derivator i gränsen.
Finns förstås en del villkor. T ex bör ju y(x) vara inverterbar om man ska kunna beräkna både dy/dx och dx/dy. Möjligt att y(x) även måste vara "snäll" på något annat sätt...
