flervariabels analys: Största minsta värde

Avgör om följande funktioner säkert antar ett största och minsta värde i mängden D

f(x,y)=(x+y)/(x^2+y^2) i D={(x,y)Tillhör R^2: x^2+y^2=<1}

Skulle gärna vilja ha hjälp med att avgöra om funktionen är kontinuerlig, den borde va kompakt eftersom den är begränsad

börja med att derivera med hänsyn till x och y. då kan du ta reda på topparna osv i xy-planet

Kolla vad som händer då (x, y) → (0, 0).

Det händer skumma grejer i origo. Om du t ex sätter y=0 blir f=1/x. Har den ett största eller minsta värde i |x|<1?

f(x,y) = (x+y)/(x²+y²); x²+y² ≤ 1.

Notera att
f(x,0) = f(0,x) = f(x,x) = 1/x (dvs singularitet i origo)
... och att f(x,-x) = 0, då x ≠ 0.

Nivåkurvor
Sätt (x+y)/(x²+y²) = 1/a, a ≠ 0, så att
x² + y² = ax + ay. Kvadratkomplettering ger

(x-a/2)² + (y-a/2)² = a²/2.

Då parametern a löper från -1/√2 till 1/√2 med steglängden 0.1
får vi den grönmarkerade cirkelskaran:
http://www.ladda-upp.se/bilder/dawugngekfwgdq/

Tjusigt. Vilket ritprogram?

Fascinerande att nivåkurvorna blir perfekta cirklar.

Graphmatica: http://www.graphmatica.com/

Om du parametriserar randen med:
x = r cos v
y = r sin v

Då är f(r,v) = r*(cos v + sin v)/(r^2 cos^2 v + r^2 sin v) = (cos v + sin v)/r och cos v + sin v är sqrt(2) sin(v+pi/4). Den funktionen är lättare att undersöka.