Behöver hjälp med en binomisk ekvation

Hej!

Problemet lyder: Lös ekvationen (z-i)^3=-1+i

Jag har försökt att förenkla problemet med att låta (z-1) = w och därefter omvandla w och -1+i till polärform, men utan resultat.

I facit står det att lösningen är z1=0, z2=1/2(3i+√3) och z3=1/2(3i-√3)

Skulle vara tacksam för hjälp

Facits svar är lösningarna till en annan ekvation:
(z--i)^3=i

Den ekvation du har skrivit upp har andra lösningar.

Har du skrivit av rätt?

oj, bra att du såg, jag menade frågan innan. Lös ekvationen (z-i)^3 = i som jag har problem med

Ser ut som att du kan slippa en del bekymmer om du läser frågan lite bättre innan du räknar och skriver.

Iaf, (z-i)^3 = i bör du kunna hantera precis som du var inne på. Börja med w=z-i och skriv sedan allt polärt:
w^3 = i
w = r e^(i v)
i = e^(i (π/2 + 2 π n))
där vi har lagt till n st hela varv på i, vilket man ju kan göra. Detta ger
r^3 e^(i 3v) = e^(i π (1/2+2n))
med lösningen
r = 1
och
3v = π (1/2+2n)
v = π/6, 5π/6, 3π/2 för n=0,1,2.

Så lösningarna ges alltså av z=w+i:
z1 = e^(i π/6) + i = √3/2 + i/2 + i = (3i+√3)/2
z2 = e^(i 5π/6) + i = -√3/2 + i/2 + i = (3i-√3)/2
z3 = e^(i 3π/2) + i = -i + i = 0

(Hoppas du ser mina specialtecken π=pi och √=kvadratrot på rätt sätt.)