Bevisa att...

Fyra påföljande tal utökat aderrat med 1 är en kvadrat av ett heltal. Visa att dett gäller för alla heltal.

Ex:4*5*6*7+1=841=29^2

Jag får inte till den här. Blir bara en massa kuber och skit. Kanske beror det på att det helt enkelt inte stämmer? Kan någon smart jävel bekräfta eller dementera?

Det stämmer. Mest effektiva metoden som bör tillämpas till problemet är matematisk induktion (induktionsbevis); (företrädesvis vad jag hade utgått ifrån, tror även att det är det du också utgår ifrån). Har ej möjlighet att räkna på uppgiften just nu, men respekt att du räknar matematik kring det här klockslaget, tyder på vilja.

Som ovanstående säger. Formulera en induktionshypotes:

x(x+1)(x+2)(x+3)+1=y² för något y för alla x.

Visa att det stämmer för x=1:

1*2*3*4+1=25=5²

(Beroende på hur man tolkar uppgiften kan man välja att sätta 1 eller 0 som första tal, eller rent av även ta med negativa tal. Jag nöjer mig med positiva heltal.)

Det är i nästa steg magin händer. Då bevisar vi att OM det stämmer för x=a så stämmer det även för x=a+1.

Googla induktionsbevis så får du se exempel.

Fyra på varandra följande tal multiplicerade med varandra adderat med 1 kan skrivas:
n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
Expanderar vi uttrycket får vi:
n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1
Om det är en kvadrat ska vi kunna skriva om uttrycket ovan som en kvadrat.
n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2

Eftersom (n^2 + 3n + 1) garanterat är ett heltal, ty heltal multiplicerade eller adderade med heltal bildar heltal, så är (n^2 + 3n + 1)^2 en kvadrat och vi har visat att påståendet stämmer.

Snyggt! För att det skall gå ihop kvadrerar man alltså ett andragradspolynom i n.
Är man osäker på mitten-termen kan man göra ansatsen (n^2 + an + 1)^2.

Utveckla först i två termer:
x(x+1)(x+2)(x+3) = x(x+3) (x+1)(x+2) = (x^2 + 3x) (x^2 + 3x + 2)

Skriv därefter om via 0 = 1 - 1 och 2 = 1 + 1:
= (x^2 + 3x + 1 - 1) (x^2 + 3x + 1 + 1)

Tillämpa konjugatregeln:
= (x^2 + 3x + 1)^2 - 1^2

Därför:
x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 1^2 + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2.