finns det några restriktioner ang luftgevär?

Du har i princip fattat rätt. Du måste söka licens på luftbössan och eftersom du lika gärna kan köpa en klass 4 (22LR t ex) så anses du inte ha behov för ett licenspliktigt luftgevär. Det finns undantag som skyddsjakt t ex men det är inte helt enkelt att få till. Så nej, jägarexamen i sig gör inte att man får en licensansökan på luftgevär godkänd.

Annars kan man gå med i en förening som skjuter fältskytte med luftgevär och söka. Det ska visst också gå.