Betrackta Partiella Differentialekvationen

Hej, jag har börjat förstå mig på kedjeregeln i flera variabeln men jag vet inte hur has nu ska integrera.

Uppgift:
Betrakta den partiella differentialekvationen 2Z'x - Z'y = 0
a) Förenkla differentialekvationen genom variabelbytet u=x, v=3x-2y
Jag fick då svaret dz/du=Z'u=0

b)Lös den partiella differentialekvationen
Jag antar att ska integrera men vet inte hur jag ska tänka

Nog trodde jag att du skulle få något svar. Eftersom det ser dåligt ut med den saken ska jag dela med mig av egna beräkningar. Hoppas att det leder framåt.


1) För det första.

Jag får inte ditt exempel att stämma. Har du räknat rätt? Eller har jag räknat fel?
Av typografiska skäl byts beteckningar: F₁ = ∂F/∂x , F₂ = ∂F/∂y.
Så börjar vi med allmänt fall.


En linjär ekvation av första ordningen med kontanta koefficienter i allmänna fallet:
c₁F₁ + c₂F₂ = 0 (I)

Inför nya variabler (linjär transformation) enligt:
u = a₁x + a₂y , v = b₁x + b₂y

Kedjeregeln:
∂/∂x = u´(x)∂/∂u + v´(x)∂/∂v = a₁∂/∂u + b₁∂/∂v
∂/∂y = u´(y)∂/∂u + v´(y)∂/∂v = a₂∂/∂u + b₂∂/∂v

Sätt nu in derivatorna i (I).
(I) => 0 = c₁F₁ + c₂F₂ =
= (a₁c₁∂/∂u + b₁c₁∂/∂v + a₂c₂∂/∂u + b₂c₂∂/∂v)F =
= [(a₁c₁+a₂c₂)∂/∂u + (b₁c₁+b₂c₂)∂/∂v]F (II)

Välj koefficienter så att b₁c₁+b₂c₂ = 0:
b₁c₁+b₂c₂ = 0 => b₁c₁ = – b₂c₂ => b₂ = – b₁c₁/c₂ (III)

Insättning i (I) reducerar denna till ∂F/∂u = 0. Integrera m.a.p. u, vilket medför att F är en godtycklig funktion av v plus någon konstant:
∂F/∂u = 0 => F = f(v)+C = f(b₁x+b₂y)+C = g(x–yc₁/c₂)+C (IV)

Här är f resp g tillräckligt reguljära envariabelfunktioner. Konstanten C kan inkluderas i funktionen.

(IV) är den allmänna lösningen till (I).

2) För det andra.

Låt oss räkna genom ditt exempel. Byt variabler enligt: u=x, v=3x-2y

∂/∂x = u´(x)∂/∂u + v´(x)∂/∂v = a₁∂/∂u + b₁∂/∂v = ∂/∂u + 3∂/∂v
∂/∂y = u´(y)∂/∂u + v´(y)∂/∂v = a₂∂/∂u + b₂∂/∂v = 0 - 2∂/∂v

Sätt in detta i den givna differentialekvationen:
0 = 2F₁ - F₂ = ((a₁c₁+a₂c₂)∂/∂u + (b₁c₁+b₂c₂)∂/∂v)F =
= ((1*2+0*(-1))∂/∂u + (3*2+(-2)(-1))∂/∂v)F =
= 2∂F/∂u + 8∂F/∂v

Öh, va? Det hjälper ju inte alls!


Testar ovan genomräknade metod istället. Koefficientidentifiering med din ekvation ger:
c₁ = 2
c₂ = -1
b₂ = – b₁c₁/c₂ = – 2b₁/(-1) = 2b₁

Inför nya variabler. Vi önskar: v = b₁x + b₂y = b₁(x+2y)
Derivator: v´(x) = b₁ , v´(y) = 2b₁

Sätt: u = x, v =x+2y
Derivator: u´(x) = 1 , u´(y) = 0 , v´(x) = 1 , v´(y) = 2

Sätt in i kedjeregeln:
∂/∂x = u´(x)∂/∂u + v´(x)∂/∂v = ∂/∂u + ∂/∂v
∂/∂y = u´(y)∂/∂u + v´(y)∂/∂v = 0∂/∂u + 2∂/∂v

Det ger (detaljer skrivs ut):
0 = 2∂F/∂x - ∂F/∂y = 2(∂/∂u + ∂/∂v)F - (0 + 2∂/∂v)F =
= (2 - 0)∂F/∂u + (2 - 2)∂F/∂v = 2∂F/∂u

Alltså ∂F/∂u = 0

Integrera (inkludera konstanten i funktionen):
F = f(v) = f(b₁x+b₂y) = g(x+2y)

Men det blir ju inte vad du kommit fram till.