Introduktion till speciell relativitetsteori (FRÅGOR OCH SVAR)

Jag som många andra här på FB verkar ha börjat på en sommarkurs i grundläggande relativitetsteori och jag tänkte därför använda den här tråden för att skriva ett in svaren på alla delprov samt be om hjälp med olika slutprovsfrågor.

Är inte van vid att använda forum, men jag har försökt dela upp frågorna genom att blanda tjock och inte-tjock text. Hoppas ni fattar.

Jag fattar att de här inte är för alla, men vissa kanske inte är intresserade av att lära sig nåt från kursen utan bara vill få in högskolepoängen. Tråden kommer uppdateras allt eftersom, orkar inte skriva in alla svar på en gång.

GRUNDPROV 1

Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna?

I klassisk mekanik anses rummet vara likadant på alla platser och i alla riktningar.
Enligt klassisk mekanik är tiden densamma för alla observatörer i universum.

Hur kan man i klassisk mekanik avgöra om man befinner sig i vila om man befinner sig i kajutan i en båt och inte kan se ut?

Man kan inte avgöra om båten rör sig eller står still.

Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna?

Klassisk mekanik är invariant under galileitransformationer.
Ett föremåls läge ändras vid en galileitransformation.
Ett föremåls hastighet ändras vid en galileitransformation.

Varför är Newtons kraftlag invariant under galileitransformationer?

Newtons kraftlag innehåller inte hastigheten v, utan bara accelerationen som inte ändras av en galileitransformation.

En astronaut uppe i rymden kastar en sten så att den får hastigheten 5 m/s. När stannar stenen?

Aldrig.


Ett tåg rör sig med hastigheten v norrut. En passagerare på tåget kastar en boll i korridoren i tågets färdriktning med hastigheten u relativt tåget. Vad blir då bollens hastighet relativt marken

u+v

Antag att Albert sitter på ett mötande tåg med hastigheten w relativt marken och observerar bollen. Vilken hastighet kommer han att uppfatta att bollen rör sig med (relativt Albert)?

u+v+w mot honom

Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna?

Ett inertialsystem rör sig med konstant hastighet i förhållande till andra inertialsystem.
Ett tåg åker med konstant hastighet 100 km/h. Vi definierar origo för ett koordinatsystem mitt i tåget. Detta koordinatsystem är tågets vilosystem.

Vad är en partikels världslinje?

Världslinjen består av alla händelser för en partikel i rumtiden.

I figuren visas fyra rumtidsdiagram baserade på Alice inertialsystem med en tjockdragen världslinje.


Fyra olika rumtidsdiagram varav ett beskriver den efterfrågade situationen.

I vilket av dessa diagram beskriver denna ett objekt som kastas ut från Bobs bil i bilens rörelseriktning (enligt Alice) vid tiden t=t0? Bobs världslinje har markerats med en streckad linje och är densamma i alla fyra diagrammen.

c)

GRUNDPROV 2

Vilka av följande utsagor är exempel på invarians?

Jag transformerar ett objekt, t.ex. flyttar det till en annan plats, men dess egenskaper (t.ex. storlek) förändras inte.
Jag transformerar koordinatsystemet, men en storhet förblir oförändrad.

Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna?

Ljuset hastighet är 299792458 m/s.

Vilket eller vilka påståenden är sanna?

Maxwells ekvationer är lorentzinvarianta.
Ljusets utbredning beskrivs av Maxwells ekvationer.

Einsteins speciella relativitetsteori ska gälla för beskrivningen av alla växelverkningar i naturen. Vad krävs för att det ska vara uppfyllt?

Alla växelverkningar måste vara lorentzinvarianta.

Einstein formulerade två postulat för den speciella relativitetsteorin. Vilka är dessa?

1.) Alla inertialsystem är likaberättigade och alla fysikaliska lagar ser likadana ut i sådana.
2.) Ljushastigheten är en universell konstant, c; densamma i alla inertialsystem.

Betrakta en kvadrat med sidlängd 1 m i sitt vilosystem. Vilken area har kvadraten i ett system där den rör sig med hastigheten 0.85c i x-led?

0.527 m2

En rymdraket flyger på låg höjd över Sverige med hastigheten v=0.9c. Sverige är 1572 km långt, men raketpiloten kommer att uppfatta sträckan kortare. Hur långt verkar Sverige vara för raketpiloten?

ca 685 km

Hur långt kan en myon röra sig i genomsnitt innan den sönderfaller till en elektron och två neutriner om den rör sig med hastigheten 0.99c? En myons medellivslängd i dess vilosystem är ca 2⋅10−6 s.

ca 4200 m

GRUNDPROV 3

En stav med längden ℓ rör sig i x-led med hastigheten v. Hur skulle stavens längd inom klassisk mekanik ändras om positionen för ändpunkterna inte mättes upp vid samma tidpunkt t utan vid tidpunkterna t1 och t2? (Vi antar här att längden ges av ℓ=x2−x1.)

Längden ändras med v(t2−t1).

Givet observatörerna A och B, vilket av följande villkor är tillräckligt för att B ska uppfatta två händelser som samtida om A gör det?

Observatörernas relativa hastighet är noll.

Två klockor på avstånd l0=1 km är synkroniserade i sitt vilosystem S′. S rör sig med hastighetv relativt S′. Är klockorna synkroniserade i S?

Klockorna är inte synkroniserade om S rör sig i riktningen längs linjen mellan klockorna.

Två klockor på avstånd l0=2 km är synkroniserade i sitt vilosystem S′.
I förhållande till klockorna rör sig Alice med hastighet v=0.4c och Bob med hastighet v=0.8c.
Vilken tidsskillnad observerar Alice och Bob hos klockorna uttryckt i klockornas vilosystem?

Bob observerar dubbla skillnaden som Alice observerar.

Bob har tre klockor i vila i S′ som betecknas klocka 1, 2 och 3, vars positioner längs x-axeln är x′=0,1,2 km.
Klockorna är synkroniserade i sitt vilosystem S′.
Alice färdas med hastighet v=0.5c i positiva x-axelns riktning.
Bob färdas i positiva x-axelns riktning med hastighet v=0.5c relativt Alice som är i vila i S.
Vad observerar Alice hos Bobs klockor?

1 går före 2 som går före 3.

Bob har en mätstav med vilolängd l0=1 km som är i vila i S′.
Alice färdas med hastighet v=0.6c i stavens riktning.
Varför observerar Alice att staven kontraheras?

Stavens kontraktion är en konsekvens av relativ samtidighet.

Bob har en kvadrat med sidolängd l0=1 km som är i vila i S′.
I kvadratens fyra hörn finns klockor som är synkroniserade i S′.
Bob färdas relativt Alice med hastighet v=0.8c i riktningen som ges av kvadratens ena sida.
Vad observerar Alice hos kvadraten?

De främre klockorna går efter de bakre klockorna och kvadraten kontraheras i rörelseriktningen.

SLUTPROV 1
(Här kan frågorna vara olika för dig, dom blandar ibland in andra frågor samt använder andra värden)

Rita upp rörelsen för en fri partikel enligt ekvationen: x(t)=x(0)+vt, där hastigheten v är konstant i ett diagram där läget x avsätts längs den horisontellax-axeln, och tiden anges längs den vertikala y-axeln. Låt först v=v1 och sedan v=v2>v1. Hur kommer kurvan med hastigheten v=v2 då ligga i förhållande till kurvan med hastigheten v=v1 för sådana x som är större än x(0)?

Kurvan ligger under kurvan för v=v1.

Om partikeln i uppgiften ovan skulle öka hastigheten, hur skulle kurvan då se ut?

Kurvan böjer av mot x-axeln!

Vår galax är ungefär 100000 ljusår i diameter. Hur lång tid tar det att resa genom galaxen med hastigheten v=0.9c enligt resenarens klocka?
Svara med 2 siffrors noggrannhet!

Svar: ca 48000 år


Hur lång tid tar det med hastigheten v=0.99c?

Svara med 2 siffrors noggrannhet!
Svar: ca 14000 år

Hur lång uppfattar resenaren att galaxen är i det sistnämnda fallet? Svara med 2 siffrors noggrannhet!
Svar: ca 14000 ljusår.


En bil befinner sig 1 km framför ett tåg. Bilen kör med hastigheten 80 km/h och tåget med hastigheten 140 km/h i samma riktning (relativt marken). Gör en galileitransformation till bilens referensram.
Hur snabbt rör sig tåget i bilens referensram? Efter hur lång tid hinner tåget ikapp bilen? Svara i hela sekunder.

Svar: Tåget rör sig med hastigheten 60 km/h i bilens referensram. Tåget hinner ikapp bilen efter 60 sekunder.

Strålmålet för en accelerator befinner sig 8 meter från strålkällan. Hur fort måste en pimeson minst röra sig för att hinna fram om dess livstid är 2.55⋅10−8 s?

snabbare än 0.73c.

Bob har två klockor i vila i S′ på avstånd l0=1.0 km från varandra. Klockorna är synkroniserade i sitt vilosystem. Alice färdas med hastighet v=0.9c relativt klockorna parallellt med separationslinjen mellan dessa. Vilken tidsskillnad observerar Alice mellan klockorna uttryckt i klockornas vilosystem? Svara med två siffrors noggrannhet.

3.0 μs (mikrosekunder)

Någon som kan dom här frågorna? Förstår inte riktigt hur jag ska lösa dom.

Två raketer färdas med hastigheterna 0.3c och 0.4c mot jorden från motsatta håll. Vad är deras relativa hastighet enligt
(a) klassisk mekanik och
(b) speciell relativitetsteori?
Ge svaret som en andel av ljushastigheten, med 2 decimalers noggrannhet!
Svar:
(a) ?c

(b) ?c

Två stycken händelser sker vid rumtidskoordinaterna (ct,x,y,z)=(10,7,40,33) och (15,16,37,43). Vad gäller för dessa händelser?

Intervallet mellan dem är tidslikt.
Intervallet mellan dem är ljuslikt.
Intervallet mellan dem är rumslikt.
Det kan finnas en observatör som uppfattar att händelserna sker samtidigt.
Den ena händelsen skulle kunna ske som en konsekvens av den andra.

a) 0.3+0.4 = 0.7
b) relativistisk addition av hastigheter ges av w = (v+u)/(1 + uv/c^2)
sätter vi v = 0.4, u = 0.3 så får vi w = 0.625


första du vill göra är att finna intervallet mellan dessa 2 rumtidskoordinater genom att helt enkelt subtrahera den ena vektorn från den andra:

s = (10-15, 7-16, 40-37, 33-43) = (-5, -9, 3, -10)
nu är s i sig inte så intressant i detta sammanhang, utan det är den "kvadrerade intervallen" som är av intresse.
s^2 = -25 + 81 + 9 + 100 = 165 (OBS! notera att tidskoordinaten får ett minustecken vid kvadreringen, vilket beror på att SR utspelar sig i minkowski space)

nu gäller följande:
* s^2 < 0 är ett tidslikt intervall
* s^2 > 0 är ett rumslikt intervall
* s^2 = 0 är ett ljuslikt intervall

(OBS OBS OBS! beroende på hur vi väljer att definiera minkowski metriken så kan definitionerna för rums och tidslika intervall byta plats. när vi kvadrerade s så sattes ett minustecken framför "tidsdelen" utav intervallet. vi hade lika gärna kunnat sätta minustecken framför "rumsdelarna" istället, och sedan kastat om definitionerna för tids och rumslika intervall. relativister brukar föredra att sätta minustecken framför tidsdelen, och partikelfysiker brukar sätta det framför rumsdelen)

i detta fallet har vi s^2 = 165 > 0, vilket innebär att vi har med ett rumslikt intervall att göra. detta är ett intervall mellan två events som inte kan påverka varandra (för långt avstånd och för kort tid för att ljus skall kunna färdas mellan de två händelserna) alltså är det 5e alternativet en omöjlighet.

gällande huruvida det finns en observatör för vilken dessa två händelser inträffar samtidigt så är svaret ja. för att komma till detta resultatet så handlar det om att se huruvida det finns en lorentztransformation som dödar tidsdelen helt. enligt lorentztranformationen så ges den nya tidsdelen utav t' = gamma(t - vx/c^2), där gamma är lorentzfaktorn (använder bara en rumskoordinat här, men eftersom vi kan rotera rummet hurfan vi vill så förlorar vi inget i detta fallet). vad vi nu ser är att för att t' = 0 så måste antingen gamma eller (t - vx/c^2) vara noll. i units där c = 1, så ser vi att x måste vara större än (eller lika) t, eftersom v endast tar värden mellan 0 och 1.

detta var fruktansvärt rörigt, men ett resultat vi snabbt kan plocka från sista stycket är att ALLA händelser separerade av ett rumslikt intervall inträffar samtidigt för någon observatör, med det motsatta gällande för tidslika intervall. om du suger lite på detta så kommer det vara fullt logiskt.

den sista biten kan också lösas grafiskt genom att rita lite rumtidsdiagram och helt enkelt se om det går att dra en linje genom punkterna som lutar mindre än 45 grader från tidsaxeln.


hoppas detta hjälpte

Tackar!

Läste den kursen förra sommaren. Vilken litteratur använder ni nu?

Mitt stora problem (när jag läste kapitlet om relativitetsteori i gymnasiefysiken) var att skilja på l och l_0 och t och t_0. Det kanske är smart att "nöta" in definitionerna så kanske det klarnar. Det var ett tips jag fick i alla fall.

Använder ingen litteratur utöver de som står på hemsidan samt ett antal korta YT klipp.

Här kommer några till frågor som jag gärna skulle behöva hjälp med, helst inte bara svar rakt på utan mer vilken metod som man bör använda.

En laddad pimeson har en medellivstid pa τ0 = 2.6·10-􀀀8 s i sitt vilosystem.

a) Hur lång väg ℓ går den i medeltal enligt klassisk mekanik, om den har en kinetisk energi på 60 MeV?

b) Hur lång väg ℓ0 (i laboratoriesystemet) går den i medeltal med relativistisk mekanik?

Pimesonens massa är 140 MeV/c2. Avrunda svaret till hela meter.
Svar:
a) m
b) m


Bestäm arbetet för att accelerera ett objekt med massa m=10 kg från vila till hastigheten v= 0.2c både (a) klassiskt och (b) relativistiskt.
Arbetet ges av skillnaden i kinetisk energi mellan slut- och starthastigheten.

Svara med 2 värdesiffror.
Svar:
(a) PJ
(b) PJ

Vad är hastigheten hos en partikel som har en total energi av 3.5 gånger sin massa gånger ljushastigheten i kvadrat?

Ange svaret med två värdesiffror.
Svar: Hastigheten är ? c

Gamla stjärnor får en del av sin energi från fusion av tre helium kärnor till en 12C-kärna. En 12C-kärna har en massa som är 2.99805 gånger större än en heliumkärna. Hur mycket energi kan genom en sådan process utvinnas ur 30.7 kg helium?

Svara med en siffras noggrannhet.

Svar: ca ? TJ

Antag att man letar efter en ny sorts partikel X genom att kollidera positroner och elektroner i en partikelaccelerator. Man tror att den nya partikelns massa är 78 MeV/c2 och man hoppas producera den genom reaktionen e+ + e- → X + γ där man låter de båda partiklarna e+ och e􀀀- krocka med varandra med motsatta men lika stora hastigheter. Hur stor energi krävs för att accelerera både positronen och elektronen till en sådan hastighet att reaktionen är möjlig? (Observera att fotonens energi kan sättas till 0 precis vid gränsen för när reaktionen är möjlig.) Massan för en elektron eller positron är 0.511 MeV/c2.

Svara avrundat till hela MeV.


Svar: Det krävs ? MeV.

Partikeln A med viloenergin 18 MeV sönderfaller till partikeln B med viloenergin 6 MeV samt en masslös partikel C.

Vilken energi har partikel C i vilosystemet för partikel B?

Svara med 2 värdesiffror.
Svar: Energin för C i vilosystemet för partikel B är ? MeV.

Bump.

Sitter själv på detta provet nu och har kört fast ganska hårt. All hjälp uppskattas!

Så här har jag tänkt på de uppgifter jag i alla fall har kommit igång på:

Bestäm arbetet för att accelerera ett objekt med massa m=10 kg från vila till hastigheten v= 0.2c både (a) klassiskt och (b) relativistiskt.
Arbetet ges av skillnaden i kinetisk energi mellan slut- och starthastigheten.

Svara med 2 värdesiffror.
Svar:
(a) PJ
(b) PJ

-------

(a). Arbetet ska ges av skillnaden i kinetisk energi från 0 -> sluthastighet.
Kinetisk energi är rörelseenergi vilket i klassik fysik är E=mv^2/2
Så här gjorde jag endast insättning:
10*(3*10^8)^2/2

(b)
Lika så gjorde jag här fast med den realistiska formeln för kinetisk energi som då ska vara:
E=(y-1)mc^2
där y= 1/sqrt(1-(v/c)^2) (lorentzfaktorn)

Kände att detta borde ge svaren men så är det tydligen inte.



-------------------
Vad är hastigheten hos en partikel som har en total energi av 3.5 gånger sin massa gånger ljushastigheten i kvadrat?

Ange svaret med två värdesiffror.
Svar: Hastigheten är ? c

Här är jag ännu mer ute och cyklar, jag har svårt att se hur de vill att själva formeln bör se ut i siffror. Så här har jag tolkat den E=3,5mc^2

Rörlsemängden ges av p=ymv (tänker lösa ut v)

p=E

ymv=3.5mc^2 (dividerar bort m)
v/sqrt(1-(v/c)^2))=3,5c^2 (öppnade y till lorentzfaktor) (dock känns det rätt fel här då hastigheten överstiger ljuset)


--------------------------


Gamla stjärnor får en del av sin energi från fusion av tre helium kärnor till en 12C-kärna. En 12C-kärna har en massa som är 2.99805 gånger större än en heliumkärna. Hur mycket energi kan genom en sådan process utvinnas ur 30.7 kg helium?

Svara med en siffras noggrannhet.

Tre helium (He) kärnor blir till en 12C-kärna vars massa är 2.99805m jämfört med en He som är m.
Här ser jag det som att de tre He kärnorna har gått samman och blivit 2.99.. större och det överblivna borde vara massan som övergår till energi.

m=30.7kg
(3-2.99805)mc^2


------------

De övriga har jag ännu inte fått huvudet runt särskilt bra och kan inte formulera hur jag tänkt ännu.

Någon som har lust att förklara Slutprov 3?

Du ska se det som att den kinetiska energin W är lika med 3.5 gånger sin massa gånger ljushastigheten i kvadrat.

Alltså: E = 3.5 m c^2
Samtidigt som E = gamma m c^2

Alltså måste gamma vara lika med 3.5. Lös ut hastigheten ur formel för gamma!