Grodgåta (sannolikhet)

Jag tycker att det är tråkigt att det är så hätsk stämning i denna tråden. Det vore trevligt om vi kunde möta varandra med sakliga argument hädanefter.

Jag kan inte (trots era förklaringar) förstå varför det blir 2/3. För min del beror min oförståelse på att samtliga förklaringar vilar på antagandet att ordningen på grodorna behöver tas i beaktande (i.e. hö är M och vä är F, hö är F och vä är M osv.), varför ni anser MF, FM och MM var tre lika sannolika utfall. Jag tror inte att vi kommer mycket längre på den fronten: ni säger att det är så - och vi andra håller inte riktigt med om det.

Några har tagit upp lite konkreta fall, men jag tycker inte att dessa har besvarats, så jag försöker igen. För att inse var mitt tankefel ligger vore jag tacksam om någon kunde förklara dessa scenario:


1. På en stubbe ser jag två grodor. Den högra grodan kväker.
1.1. I detta fall är alla överens om att det är 50% chans att en av grodorna är en hona (följaktligen den vänstra)?
1.2. Jag jonglerar med grodorna och sätter tillbaka dem på stubben. Jag vet inte längre vilken hanen är. I detta fall är sannolikheten att minst en av grodorna är en hona c:a 67% (enligt er)?
Nu var det en av er som sade att detta var ett helt annat fall. Om någon tycker det - hade denne kunnat komma med sakliga argument till varför?

2. Exakt samma situation som i videon - med undantag av att nu har jag rollen som spektator istället. Nu står jag bakom en palm och ser faktiskt att det var den högra grodan som kväkte.
2.1. Är vi alla överens om att jag vet att det är 50% chans att en av grodorna är en hona?
2.2. Är det fortfarande c:a 67% chans för den grodslickande mannen att en av grodorna är en hona?
2.3. Om ovanstående situation hade utspelat sig i verkligheten - i hur stor andel av fallen är minst en groda en hona?

Kan jag utifrån bristen på tankar och analys på mina frågor anta att detta problem kanske ändå inte är så lätt så att en "chimpans" förstår detta omedelbart?

Om ingen vill föra en sansad diskussion/påtala mitt tankefel kommer jag att tro att ni inte kan besvara frågorna, och jag kommer således tro att ni har fel. Än värre så kommer jag tro att ni har insett att ni har fel, men att ni inte vågar erkänna det. Felktigt eller ej, detta är vad jag kommer tro.

Ok, det förstår jag. T o m med en bakgrund i teoretisk fysik kan det vara svårt att ens bara ta sig igenom inledningen till en matematikavhandling och ens bara förstå vad tusan det handlar om. T o m ibland när det påstås att det avhandlade materialet har relevans för fysik.

Har sagt det förr, du har en bra inställning, och jag skäms nu lite för min arrogans.

Men (sorry), det handlar inte heller BARA om notation. När man lär sig notationen kommer det ju även tillsammans med nya begrepp. T ex svårigheten i att förstå betingad sannolikhet består nog inte mest i notationen P(B|A).

Videon i TS är nog annars iaf en bra start. Eller vad tycker du?

Kan jag utifrån bristen på tankar och analys på mina frågor anta att detta problem kanske ändå inte är så lätt så att en "chimpans" förstår detta omedelbart?

Om ingen vill föra en sansad diskussion/påtala mitt tankefel kommer jag att tro att ni inte kan besvara frågorna, och jag kommer således tro att ni har fel. Än värre så kommer jag tro att ni har insett att ni har fel, men att ni inte vågar erkänna det. Felktigt eller ej, detta är vad jag kommer tro.

Kan även jag göra ett försök:
1.1 Så långt korrekt.
1.2 Det är helt riktigt att vi inte längre vet vilken av grodorna som är en säker hane. Däremot är sannolikheten för hona på en av grodorna fortfarande 1/2. Vi har ju bara blandat grodorna utan att ändra vad vi har. Misstaget du gör är att blanda ihop fallet med att initialt veta vilken groda som är hane med fallet att endast veta att en groda är hane. Det är två helt olika situationer (vilket inte är helt intuitivt om man inte undersöker respektive fall ingående).

I det första fallet så har vi endast en okänd groda att ta hänsyn till (även om du har blandat om dem), medan det i det andra fallet är två okända som vi måste beräkna sannolkheter för.

För fall ett får vi då de möjliga utfallen:
hane/hane
hona/hane

När vi vet vi att höger är hane är omöjliga utall:
hane/hona
hona/hona

I det andra fallet så vet vi endast att en av grodorna är hane.
Tittar vi på möjliga utfall här har vi:

hane/hane
hane/hona
hona/hane

Omöjliga utfall är nu endast:
hona/hona

Alla de möjliga utfallen för respektive fall är lika sannolika, så summerar vi fallen får vi att 1/2 ger en hona i fall ett och 2/3 en hona i fall två.

Samma argument gäller för din andra fråga. Om det är känt vilken av grodorna som är hane så är chansen 1/2 för hona. Om det däremot är okänt vilken som är hane är chansen 2/3 för hona.

Ponera att pojkgrodorna kväker med sannolikhet 1. För att problemet ska vara intressant måste vi anta att vi inte kan skilja ett kväkande från två. Annars skulle vi med säkerhet veta att det fanns en flickgroda om vi hörde ett kväkande och inga flickgrodor om vi hörde två kväkanden. Men det antagandet gör att ditt exempel där någon kikar i en buske inte håller. Om buskmongot observerar vilken groda som kväker är det svårt att föreställa sig hur han inte kan veta om båda kväkte. Han skulle alltså med säkerhet veta huruvida det finns en flickgroda eller inte. Om vi låter sannolikheten att pojkgrodorna kväker vara p < 1 kommer det ändå bli liknande skillnader.

Jag var också först inne på det spåret också, men sen tänkte jag att i så fall vore det bara att gå till den ensamma grodan (som ju inte kväkte) som då måste vara en hona. Men förstår hut du tänker.

Om jag har tolkat resonemanget rätt kommer person A att säga att det är 50% chans att en av grodorna är en hona, medan person B kommer att säga att det är c:a 67%. Båda skulle (rent matematiskt) ha rätt, lite grann som någon sorts matematisk liknelse till Schrödingers katt . I "verkligheten" kan dock båda inte vara rätt, d.v.s. om detta hade inträffat tusen gånger så kommer antingen 50% eller 67% grodpar inkludera en hona; båda möjligheter är inte möjliga samtidigt - eller?

Men om vi tillfälligt kan fokusera på situation 2. Jag tror att jag uttryckte mig lite oklart. I detta fall ser en person (person A) att den högra grodan kväkte, medan en annan person (person B) inte ser vilken groda som kväkte. De besitter alltså olika mycket information.

Om jag har tolkat resonemanget rätt kommer person A att säga att det är 50% chans att en av grodorna är en hona, medan person B kommer att säga att det är c:a 67%. Båda skulle (rent matematiskt) ha rätt, lite grann som någon sorts matematisk liknelse till Schrödingers katt . I "verkligheten" kan dock båda inte vara rätt, d.v.s. om detta hade inträffat tusen gånger så kommer antingen 50% eller 67% grodpar inkludera en hona; båda möjligheter är inte möjliga samtidigt - eller?

Som jag skrev i mitt inlägg tidigare (med formler och allt) så är det så att om vi antar att hangrodor kväker med en sannolikhet p oberoende av varandra etc. så spelar det ingen roll om du väljer den ensamma grodan eller de två grodorna. Det är ett minst lika intressant och riktigt svar som resonemanget som ger 2/3.

Jag tror att du har missförstått mig (eller också har jag missförstått dig).

Jag har tolkat det som du: grodorna kväker oberoende av varandra med en sannolkhet P som inte är lika med 1. Det jag ville belysa var att om P = 1, implicerar detta att den ensamma grodan är en hona (då hon inte har kväkt), vilket skulle göra detta scenario ointressant.

du kan ju också observera att om någon tomte går och kontrollerar grodorna i smyg så vet han med 100% säkerhet vad som är vad, och sannolikhetsanalyser blir helt meningslösa. detta visar på att sannolikhets begreppet är meningslöst utan att vi relaterar det till vad för information som är tillgänglig. detta är själv något jag har en hel del problem med, samt belyste i denna tråden https://www.flashback.org/t2723740. rent klassiskt så kan man ju alltid tänka sig att någon kan besitta all information om ett system (grodorna och deras kön), och de möjliga utfallen kollapsar till endast ett möjligt utfall. dock så är det så att med den givna informationen (2 grodor, någon av dem är hane), så är sannolikheten för 1 hona 67%.

Om person A respektive B har olika mycket information så skulle de göra olika förutsägelser ja. Det som spelar roll är om en groda är känd eller ej. I och med att grodan är känd så försvinner alla möjliga utfall där den inte kan ha det observerade värdet (dvs alla fall där den är en hona) och därmed så reduceras urvalsrummet, vilket leder till förändrade sannolikheter.

Givet att person A och person B observerar samma fall så kommer person A:s förutsägelse om 2/3 chans att vara felaktig (men givet informationen som är tillgänglig för person A är det den statistiskt rimligaste förutsägelse som kan göras). Person B:s förutsägelse kommer att vara den korrekta eftersom den använder mer information om det faktiska fallet och utesluter möjliga utfall.

Det kan kännas helt orimligt, men givet att du har mer information så försvinner olika utfall från det möjliga utfallsrummet. Värt att notera är också att det skulle räcka för person A att veta att person B vet könet på en specifik groda för att kunna göra samma försutsägelse som person B i det här exemplet.