Grodgåta (sannolikhet)

Såklart idioten trollar, den har fått massor av bevis på varierande nivå men inget verkar bita. Det finns t.om empiriska simuleringar på internet som visar att 2/3 är rätt.

Ett sista försök sedan lägger jag ner.

Du har en groda på en stubbe som kväkar = manligt kön.
Bakom dig har du en hink med grodor lika av varje män/kvinnor.

Du tar en slumpvis ur hinken = 50% chans att du väljer en kvinna
Du sätter den också på stubben. Vänder ryggen till stubben och grodorna hoppar runt.
Du vänder dig tillbaka och glor på stubben. Nu har du samma utgångsläge som i filmen.
Håller ni med om det? eller har du mer/mindre info i filmen?

Om du nu väljer att slicka på bägge = 50% chans att du slickar på en kvinnogroda.

Kan ni se det nu, eller?


Ja ok det finns 3 möjliga utfall men 1/2 av 2/3 av dessa utfall vet vi är fel, detta faktum bortser ni/du ifrån.
Resultat blir .5 oavsett.
Det är där alla ni gör fel, ni tror ni är så klipska för ni kan plocka bort 1 utfall av 4 möjliga och få det till 66,666666% med conditional probability som jag då ska vara alldeles för korkad för att begripa .
Men fatta att 1/2 av 2/3 av dessa utfall som finns kvar är fel det gör ni däremot inte era högfärdiga ashål.

Det är inte samma situation som i filmen, du är helt rökt. Det är dock lugnt, alla kan inte förstå matematik och sannolikhetslära.

Tror jag iaf förstår nu hur TS tänker. Här är en formulering:

Man vet att det antingen var den vänstra grodan eller den högra grodan som kväkte. Sannolikheterna för dessa utfall är 1/2 vardera.

Antag att det var den vänstra. Då vet vi alltså ingenting om den högra. Rimligen bör det vara 50% chans att denna ska vara hanne och 50% att den ska vara hona. I detta fall har vi 50% chans att en av grodorna ska vara hona.

Antag att det var den högra som kväkte. Även i detta fall borde det vara 50% chans att den andra är en hona. Dvs i detta fall är det 50% chans att en av dem ska vara en hona.

Dvs oavsett vilken som kväkte så är sannolikheten 50%. Alltså är sannolikheten 50% totalt.

P(v groda kväkte)•P(h groda = F)
+ P(h groda kväkte)•P(v groda = F)
= (1/2)•(1/2) + (1/2)•(1/2) = 1/2.

Detta är FEL. Men exakt var går det fel? Inte helt trivialt tycker jag. För det måste ju iaf vara sant att det är 50% chans att det är den högra som kväkte, och samma chans för den vänstra.

Notera att jag förstår hur man ska räkna från början på rätt sätt, med lika chans för MM, MF, FM, FF, och sen bort med FF, etc. Men borde man inte kunna få fram rätt resultat även med ett resonemang som iaf liknar det ovanstående?

Ang människans förmåga att förstå sannolikhetslära tror jag att den är väldigt dålig i allmänhet. Och ofta även för matematiker och statistiker om de bara ska gissa. (Men dessa borde iaf få rätt när de räknar). Förmågan till riktiga sannolikhetsbedömningar är liksom inte inbyggt i oss. Skulle en sådan ha en evolutionär fördel? Inte nödvändigtvis. Det är bättre att missta en buske för ett rovdjur som vill äta dig, än tvärtom. Den som ALLTID springer iväg har större chans att klara sig än en som iofs gör korrekta sannolikhetsbedömningar men som just därför får fel ibland. Bara 25% risk för att det är en björn? Ignorera.. (Med utilitetsfunktion kan man iofs komma till en annan slutsats även med korrekta sannolikhetsbedömningar.)

Jodå, jag har förstått att det är så ts resonerar och visst är det inte särskilt intuitivt att mer information (vi vet vilken groda som kväker istället för att en av grodorna gör det) minskar vår sannolikhet för överlevnad när vi inte har "gjort något" som påverkar grodorna. Trots detta borde det långa och logiska beviset som en viss användare gav ha övertygat ts, men tydligen inte.

Överlevnadschansen är ju som sagt 2/3, men hur stor är standardavvikelsen vid t ex 1000 försök? Vad blir det egentligen för sorts statistik för överlevnaden?

Min ansats:

Med n försök får vi alltså i medel n/4 vardera i kategorierna FF, FM, MF, FF. Sannolikhetsfördelningen för avvikelser från medlet beskrivs av en multinomialfördelning med sannolikhetsfunktionen given av (se länken)
f(x₁,x₂,x₃,x₄;n,p,p,p,p) = pⁿ n!/(x₁! x₂! x₃! x₄!)
där
p=1/4
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = n.

Man visar lätt att detta är ekvivalent med tre binomialfördelningar med p/2: T ex först en för fördelningen av värden på summan s₁ = x₁ + x₂ av totalt n försök, sen en för x₁ av totalt s₁ försök, och sist en för x₃ av totalt s₂ = n - s₁ försök. Eller lite mer formellt
s₁ ~ B(n,1/2) och s₂ = n - s₁
x₁ ~ B(s₁,1/2) och x₂ = s₁ - x₁
x₃ ~ B(s₂,1/2) och x₄ = s₂ - x₃
Och för höga värden på n approximeras binomialfördelningar väl av normalfördelningar, där det finns många metoder som kan användas vid t ex simuleringar.

Så vad blir det då egentligen för statistik för överlevnadschansen i TS problem? Det vi ska beräkna är alltså statistiken för (skrivet på tre olika sätt)
y = (x₁ + x₂)/(x₁ + x₂ + x₃) = s₁ / (s₁ + x₃) = s₁ / (n - x₄)
där x₁, x₂, x₃ står för antalet FM, MF resp MM.

E(s₂) = E(s₁) = n/2
E(x₄) = E(x₃) = E(s₂)/2 = n/4
men detta leder ju inte ens direkt till att E(y) = 2/3. Medelvärdet av en kvot är som regel *inte* samma som kvoten av medelvärdena. Men man kan resonera så här:
Av symmetriskäl måste y ha samma medelvärde som
y' = (x₁ + x₃)/(x₁ + x₂ + x₃)
y" = (x₂ + x₃)/(x₁ + x₂ + x₃)
dvs
E(y) = E(y') = E(y")
Men nu har vi också att
y + y' + y" = 2
Alltså är
E(y) = 2/3.

Men vad blir då Var(y)?
Lämnar detta just nu för att ev återkomma senare. Kommentar från någon?
Är kanske bara nördig i överkant nu.

Om man placerar grodorna i en ring med 120 graders vinkel och sig själv förgiftad av svamp i cirkelns mitt. I så fall är det om man kan höra vilken groda som kväker är det väl klart att man har lika stor chans att kasta sig mot vilken som av de som inte har kväkt.

Det verkar lite märkligt att om man vrider grodan som kväker mot en som inte kväker helt plötsligt ökar sin överlevnadschans för att man inte längre kan avgöra vilken av de grodor som är nära varandra är den som kväker.

I ditt scenario vet du precis vilken groda som har kväkt. Det vet du inte i ursprungsfrågan där du bara vet att det är en av två som har kväkt. Det är olika situationer.

Sen har du fel i att överlevnadschansen ökar. Den minskar ju. Om ingen av grodorna i paret hade kväkt så hade de möjliga kombinationerna varit
FF, FM, MF, MM,
alla med samma sannolikhet, och av dessa är det bara med MM som du dör, dvs du har 3/4 chans att överleva.

Men eftersom en av dem kväkte, går FF bort, dvs de möjliga kombinationerna är nu
FM, MF, MM
där du överlever i 2 fall av 3.

2/3 < 3/4

OK, jag ska försöka vara lite tydligare.
Grodan kväker hela tiden. Så länge som den går att urskilja så är överlevnadschansen 1/2 men när den kommer så nära en annan groda att man inte längre kan urskilja vilken av dem som kväker så ökar överlevnadschansen till 2/3. Är det så det är?

Det är väll rätt trivialt ändå? Multiplicera sannolikheter gör man när saker är oberoende. Om högra grodan är tjej vet man att det var den vänstra som kväkte, typiskt beroende.

Kom ihåg att du slickar två grodor, om du bara får slicka en groda är det bättre att slicka den ensamma grodan.

Förstår inte problemet här.
Vi förenklar.
Du har två grodor, vad är sannolikheten att en är female? Sex ratio distribution är 1:1.
Möjliga utfall:

MM
FF
MF
FM

Ta nu bort FF eftersom det inte existerar så har du 2/3. Men vet du vad, bättre om du helt enkelt gör försöket själv. Gå ut och hämta 100 enkronor, be din polare att placera dem två och två och aldrig bara klavar och minst en krona. Sen går du runt och tittar, du kommer få 67% eller rätt nära det.