Binomialfördelning med stort n = 200

Har 200 st sekvenser som alla oberoende har sannolikheten p = 0,01 att misslyckas. Jag ska räkna ut sannolikheten att minst 2 misslyckas.

Jag har istället ställt upp "sannolikheten att högst 198 lyckas" P(X _< 198) då binomialkoefficienterna i P(X >_ 2) ger min miniräknare overflow.

X är därmed en diskret s.v. som räknar # lyckade sekvenser.

Jag borde här kunna dela upp P(X _< 198) = P(X = 197) + P(X = 198), eller hur? (läs edit, har insett att det är mycket felaktigt)

Härifrån har jag räknat ut respektive binomialfördelning, adderat dom och fått det till ~ 0,638 fast svaret ska vara 0,595. Räknade också en gång med P(X = 199) + P(X = 198) men det gav inte heller rätt.

Vad gör jag för fel?

Binomialfördelning; X ~ Bin(n,p) , P(X=k) = c(n,k) * p^k * (1 - p)^(n-k)

n = # totala händelser
k = # specifika händelser
c(n,k) syftar på "n över k" -> n!/(n-k)k!

Edit: Har insett att min omskrivning ovan är fel, det ska ju egentligen vara P(X _< k) = P(X = k) + P(X = (k-1)) + ... P(X = 0), och det är ju jäääääävligt jobbigt att räkna. -_-

Men P(X >_ 2) formeln ger mig fortfarande overflow... så har noll koll på vad jag bör göra.

Problemet här blir just att du får gigantiska binomialkoefficienter, därför kan man approximera binomialfördelningen med andra fördelningar. Jag är inte riktigt med på hur du har beräknat det du gjort så jag kan inte riktigt svara på vad du gjort för fel. Men exempelvis så är P(X ≤ 198) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 198), dvs 199 st termer som adderas inte bara två stycken.

Hursomhelst, man kan approximera binomialfördelningen Bin(200, 0.01) med en Poisson fördelning Y ~ Poi(200·0.01) = Poi(2). Så man får då att

P(Y ≥ 2) = 1 - P(Y ≤ 1) = 1 - e^(-2)(1 + 2) = 1 - 3e^(-2)

Så sannolikheten blir ungefär 1 - 3e^(-2) ≈ 0.594.

Matten hade jag räknat rätt på men uppställningen var ju helt fel.

Poisson alltså... jo men det är ju bra att min bok ger mig poisson uppgifter i ett kapitel där de inte ens introducerat begreppet. Tekniskt sett så kände jag redan till det men var övertygad att det fanns ett annat sätt just på grund av den ovan nämnda orsaken.

Tack för klargörandet.

Insåg att jag var för snabb här . I detta fall blir ju inte binomialkoefficienterna ens stora insåg jag.

C(200, 0) = 1, C(200, 1) = 200.

Så man får alltså att sannolikheten är

P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - 0.99^200 - 200*0.01*0.99^199 ≈ 0.595

Hmm, okej. Har inte helt fattat alla räkneregler gällande "P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1)" omskrivningar och dylikt. Får jobba på det. Tack!

Det handlar bara om komplement händelser, om X inte är större eller lika med 2 så är det 1 eller mindre.