Beräkna derivata medelst differens av kuber och "Newton's quotient" (svår uppgift)

Uppgiften är på engelska och lyder som följer:

Use the factoring of a difference of cubes:

a^3 - b^3 = (a^2 + ab + b^2)

to help you calculate the derivative of f(x) = x^(1 / 3) directly from the definition of derivative.

Jag är lite osäker på hur man ska lösa problemet med tanke på att tredjeroten är i vägen. Hur omvandlar jag tredjeroten till en kub?

Tack på förhand för hjälp!

definitionen av derivata:

f'(x) = lim h->0 (f(x+h) - f(x))/h
f'(x) = lim h->0 ((x+h)^(1/3) - x^(1/3))/h
f'(x) = lim h->0 ((x+h)^((1/9)^3) - x^((1/9)^3))/h

En differans av kuber är egentligen a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) (har du skrivit av fel kanske? annars står det fel)

f'(x) = lim h->0 (x+h - x)((x+h)^2/9 + x^1/9 * (x+h)^1/9 + x^2/9)/h = lim h->0 (x+h)^2/9 + x^1/9 * (x+h)^1/9 + x^2/9

f'(x) = x^2/9 + x^2/9 + x^2/9 = 3x^2/9

Vilket är sökt svar, om jag minns rätt.

Du menar väl: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) ?

Tack för hjälpen.

Ja, jag skrev fel förut och menade egentligen a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Jag hittade en alternativ lösning där man förlänger (skriver om) nämnaren till

((x + h)^3)^(1 / 3) - (x^3)^(1 / 3) = h

vilket alltså är ekvivalent med h.

Vidare så substituerar man (x + h) = a^3 och x = b^3.

Kvoten ser nu ut som följer (observera att a går mot b):

lim (a --> b) (a - b) / (a^3 - b^3)

vilket kan utvecklas med hjälp av faktoriseringen av differensen mellan två kuber (vi skriver inte ut lim (a --> b)):

(a - b) / (a - b)(a^2 +ab + b^2) = 1 / (a^2 + ab + b^2) [vi låter a gå mot b] =

= 1 / 3b^2 [eftersom b^2 = x^(2 / 3) får vi följande] = 1 / 3x^(2 / 3)

Vilket skulle visas.