Tror facit har fel i en detalj. Får kraften i BE till √2•F, inte till 2F som det står där. Och så tycker jag det verkar som att det räcker med att bara räkna på kraftjämvikt i varje punkt för att få fram alla krafter. (Systemet rör sig ju inte någonstans, alltså är nettokraften = 0 överallt.) Vidare så sägs det inte i problemet, men det ska nog antas att stängernas egna vikter är försumbara jämfört med belastningen F.
Så här tänker jag.
Knäckkraften P ges av P=π²EI/x² där E är en materialkonstant, I en konstant som beror på stångens tvärsnittsytas form, och x är stångens längd. (Symbolen L är upptagen som beteckningen för längden på de horisontella och vertikala stängerna i problemet, medan de diagonala har längden L√2.)
En stång knäcks om kraften f på den är större än P, dvs om f>P, dvs om fx²>π²EI. Eftersom E och I är lika för alla stänger i problemet, så knäcks alltså den stång först som har störst värde på fx².
Analyserar kraftjämvikt på punkterna A, B, C, D, E, samt på stängerna AB, BC, BD, BE, CD, DE, i x-riktning (+ åt höger) och y-riktning (+ uppåt). Krafter ges på komponentform, (Fx,Fy).
Detta görs lämpligen på rutat papper, med t ex L=4 rutor långt (rita noga!!), med belastningen F ritad som en pil som är en ruta lång, punkt för punkt, stång för stång, mest genom att rita och utan att skriva det mesta av det följande. Använd gärna olika färger för krafter på punkter resp på stänger, alternativt, rita en figur för krafter på punkterna och en för krafterna på stängerna.
C: Belastning (0,-F). Balans i y-led från y-komposanten i kraften från BC, dvs (-F,F). Balans i x-led med kraften (F,0) från CD.
CD: Reaktionskraft från C: (-F,0). Balanseras av (F,0) från D. Möjligt knäckfall! f•x²=FL².
D: Reaktionskraft från CD: (-F,0). Balanseras av (F,0) från DE. INGEN kraft från BD för en sån kan inte balanseras i y-led av något!
BD: Ingen reaktionskraft från D. Alltså heller ingen balanserande kraft från B. Denna stång är obelastad!
DE: Reaktionskraft (-F,0) från D. Balanseras av (F,0) från E. Möjligt knäckfall, samma som CD.
BC: Reaktionskraft (F,-F) från C. Balanseras med (-F,F) från punkt B. Kraftens belopp är alltså √(F²+F²)=F√2, och krafterna försöker dra isär stången, dvs detta är inte ett knäckfall.
B: Reaktionskraft (F,-F) från BC. I y-led kan detta bara balanseras från BE (eftersom BD är obelastad!) med kraften (F,F). I x-led får vi då balans med (-2F,0) från AB.
AB: Reaktionskraft (2F,0) från B. Balanseras av (-2F,0) från A. Krafterna försöker sträcka ut stången. Inte ett knäckfall.
BE: Reaktionskraft (-F,-F) från B. Balanseras av (F,F) från E. Kraftens belopp är F√2. Möjligt knäckfall. f•x²=F√2•(L√2)²=2√2•FL².
Kontrollräkning: Momentjämvikt (medurs) runt E för hela fackverket ger 2L•F - L•2F = 0, stämmer!
Vi ser att f•x² är störst för BE. Denna knäcks alltså först.
