Ytintgral

Hej, jag behöver hjälp med en uppgift!

[tex]\int \int _{Y}F*NdS[/tex] där [tex]F=(5y^4z+xz,1-y^5,2-x^2)[/tex] och Y är ytan [tex]x=y^2+z^2,x\leq 1[/tex]

Jag låter x=1 och får: [tex]y^2+z^2\leq 1[/tex]

Jag vet att:
[tex]\int \int _{Y}F*NdS+\int \int _{\sigma }F*ndS=\int \int \int _{D}gradFdxdydz[/tex]

En parametrisering av [tex]\sigma [/tex] blir: x=1, y=u, z=v och får [tex]u^2+v^2\leq 1[/tex]
[tex]r = (1,u,v),r'_{u} = (0,1,0),r'_{v} = (0,0,1)[/tex]
[tex]r'_{u}xr'_{v} = (1,0,0)[/tex]

[tex]\int \int _{\sigma }F*ndS=\int \int _{\sigma }(5y^4z+xz,1-y^5,2-x^2)*ndS=[/tex]
[tex]=\int \int _{u^2+v^2\leq 1}(5u^4v+v,1-u^5,2-1)(1,0,0)dudv=\int \int _{u^2+v^2\leq 1}(5u^4v+v)dudv[/tex]

polära koordinater: [tex]u=\rho cos\theta ,v=\rho sin\theta [/tex]

[tex]\int \int _{0\leq \rho \leq 1,0\leq \theta \leq 2\pi )}(5\rho ^4cos^4\theta \rho sin\theta +\rho sin\theta )\rho d\rho d\theta [/tex]

Kan inte fortsätta för att om jag integrerar med avseende på theta så kommer jag få noll när jag sätter in värdena och det känns fel? Har jag beräknat rätt hittills? Kan någon hjälpa mig?

Tacksam på förhand!

Jag har inte riktigt kollat igenom alla beräkningar du gjort, då det är lite jobbigt att behöva läsa latex. Men det ser korrekt ut att flödet genom disken ska vara noll. Notera att du inte behöver byta till polära koordinater för att se det, du kan notera direkt symmetrin i integranden 5u⁴v + v, den är udda i v så det följer omedelbart att integralen blir noll.

Kanske pröva att använda Stokes sats? I den sista inspelade föreläsningen så gick Martin igenom ett liknande exempel

Finns det länk så att jag kan titta?

Tack så mycket!

http://kurser.math.su.se/mod/resource/view.php?id=18358

Jag fick också 0, så hoppas det stämmer!

Det stämmer nog!

Hur gjorde du sen? Jag fick att div f blev (z-5y^4)dxdydz men har fastnat igen Hur får man fram koordinaterna?

y^2+z^2<=x<=1 är det såhär man får x koordinaten? Jag tänker att man kanske ska beräkna med avseende på x först och sedan gå över till polära koordinater?

Du kan ju i gå över till cylindriska koordinater direkt. Om z och y går över till

y = rcosθ
z = rsinθ

så får du ju att integralen blir

∫_{0, 2pi} ∫_{0, 1} ∫_{r², 1} (rsinθ - 5r⁴cos⁴θ)r dxdrdθ

Notera här att den första termen kommer bli noll eftersom integrerar man sinθ över 0 till 2pi så blir termen noll. Så den kan förenklas till

∫_{0, 2pi} ∫_{0, 1} ∫_{r², 1} -5r⁵cos⁴θ dxdrdθ

Hur får du att den tredje integralen går från r^2 till 1?

Det är ju från att y² + z² = r² ≤ x ≤ 1.

Jag försökte som du och då får jag:

∫_{0, 2pi} ∫_{0, 1} ∫_{r², 1} -5r⁵cos⁴θ dxdrdθ=∫_{0, 2pi} ∫_{0, 1}( [ -5r⁵xcos⁴θ ]_{r^2, 1}) drdθ=
=∫_{0, 2pi} ∫_{0, 1}(5r^5(r^2-1)cos^4θ)drdθ=∫_{0, 2pi} cos^4θ dθ *∫_{0, 1}(5r^5(r^2-1) dr och jag får noll pga den första termen, är det rätt?

Det ser ut som du har fått rätt integraler, tror jag. Men det är inte korrekt att dom blir noll.

∫_{0, 2pi} cos⁴θ dθ = ∫_{0, 2pi} (1/2 + cos(2θ)/2)² dθ = ∫_{0, 2pi} (1/4 + cos(2θ)/2 + cos²(2θ)/4) dθ = pi/2 + ∫_{0, 2pi} cos²(2θ)/4 dθ = pi/2 + 1/4 ∫_{0, 2pi} (1/2 + cos(4θ)/2) dθ = pi/2 + pi/4 = 3pi/4.

Den andra integralen blir

∫_{0, 1} (5r^7 - 5r^5) dr = [ 5/8 r^8 - 5r^6/6 ]_{0, 1} = 5/8 - 5/6 = -5/24.

Så integralen blir alltså -5/24 * 3pi/4 = -5pi/32.