storcirkel/sfäriska-cylindriska koordinater

Uppgiften lyder:
http://i.imgur.com/JqvTK9T.png
Behöver hjälp med hela uppgiften.
Främst koordinat delen men är
även osäker på hur jag får fram själva storcirkelnsekvationen.

Rymdpolära koordinater/sfäriska koordinater ges väl av:
x=r*sinθ*cosγ
y=r*sinθ*sinγ
z=r*cosθ

samt polära/cylindriska koordinater:
x=r*cosγ
y=r*sinγ ?
(Notera skillnaden mellan y och γ)

Behöver också hjälp med denna uppgift. Väldigt lite info om detta i boken enligt mig.
Kan detta stämma?

cylindriska koordinater:
r^2*cos^2(phi)+r^2sin^2(phi)+z^2=1
cos(phi)+sin(phi)+z=0

sfäriska koordinater:

r^2*sin^2(teta)*cos^2(phi)+r^2*sin^2(teta)*sin^2(p hi)+r^2*cos^2(teta)=1
r*sin(teta)*cos(phi) + r*sin(teta)*sin(phi) + r*cos(teta) = 0

(a) Planet x+y+z = 0 skär xy-planet (”ekvatorsplanet”) i linjen x+y = 0 (”nodlinjen”), se figur:
https://upload.wikimedia.org/wikiped...8/82/Euler.png

Vilken vinkel θ (=β i fig) bildar planets normal med z-axeln (blå)? Storcirkeln C (röd) kan parametriseras med vinkeln γ (utgående från nodlinjen N) enligt figur.

pi?

förresten, stämmer mina chansningar?

Planet x+y+z = 0 har normalvektorn (1,1,1) i det givna koordinatsystem, vilket bör ge cos(θ) = 1/√3.

Din ekvation kräver dessvärre en del förklaringar för att smältas ...
Notera att C har radien 1 och att EN parameter (t.ex. γ) räcker för beskrivningen.

Har du lust att ge ett svar på A) och B)? skulle uppskattas. Får se om jag förstår utifrån svaret helt enkelt

Det enda jag gjort är att plottat in koordinaterna i de två ekvatonerna.
Koordinaterna jag använt mig av är:
http://i.imgur.com/CSl653z.png
(testar o använda länk jag med. Blir lättare än att skriva ut alla ekvationer.)
För jag antar att det är det de frågar efter i fråga A) och B).

(a) Sfäriska koordinater. En punkt på enhetssfären (r=1) ges av koordinaterna

x = sinθ·cosϕ
y = sinθ·sinϕ
z = cosθ

där θ är polarvinkeln och ϕ azimutvinkeln, figur.

Storcirkeln C ligger i planet x+y+z = 0 som har normalen n = (1,1,1). Lägesvektorn r = (x,y,z) till en godtycklig punkt på C måste därför vara vinkelrät mot n, så n • r = 0:

(1,1,1) • (sinθ·cosϕ, sinθ·sinϕ, cosθ) = 0,

sinθ·cosϕ + sinθ·sinϕ + cosθ = 0,

sinθ·(cosϕ + sinϕ) + cosθ = 0,

vilket implicit ger polarvinkeln θ som funktion av azimutvinkeln ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2pi).

Alternativt kan vi nyttja villkoret z = -x-y och beskriva storcirkeln med de tre ekvationerna

x = sinθ·cosϕ
y = sinθ·sinϕ
z = -sinθ·(cosϕ + sinϕ)