Fråga angående normaler till flödesintegraler

Hej.
Jag blir lite förvirrad gällande vilken normal man ska använda vid flödesintegraler.
På ena lösningsförslaget använder man normalen (0,-1,-1)/sqrt(2)
och på det andra lösningsförslaget använder man normalen (0,-1,-1).
Vad är det som gäller, och hur ska man tänka för att få rätt?

http://postimg.org/image/c81wlzx7r/

Vektorn (0,-1,-1)/√2 är normerad, (0,-1,-1) är inte normerad. När man talar om en normal avser man vanligtvis en normerad normal.

Notera dock att det snarare är dS som skrivs på två olika sätt i de två lösningsförslagen:
dS = (0,-1,-1)/√2 dS = n dS, där |n| = 1.
dS = (0,-1,-1) dx dy, där (0,-1,-1) har fåtts fram genom ∂r/∂x × ∂r/∂y (fast med minustecken framför eftersom normalen ska vara nedåtriktad).


Vilken variant av formel för dS du bör använda beror på sammanhanget. De två lösningsförslagen använder olika lösningsmetoder.

Den första lösningsmetoden använder Stokes sats och i den sätts in dS = (0,-1,-1)/√2 dS. Området behöver dock aldrig parametriseras utan integralen blir i princip arean av området som utgör en cirkel.

Den andra lösningsmetoden utför en direkt integration över ytan. Där behövs en parametrisering. Som parametrar används x och y, och man sätter därför in dS = - (∂r/∂x × ∂r/∂y) dx dy. Man kan använda dS = n dS med n = (0,-1,-1)/√2 även här, men man måste då få fram en formel för dS, och den visar sig bli |∂r/∂x × ∂r/∂y| dx dy = √2 dx dy, så att vi ändå får dS = (0,-1,-1) dx dy.

Enormt stort tack för ditt utförliga svar!

Som jag fattar det så använder man bara n om man direkt kan se vad integralens värde ska bli (dvs en dubbelintegral av en funktion som är konstant). Om man däremot måste integrera på "vanligt sätt" använder man andra metoden, med kryssprodukt. Är detta korrekt?

Jag skulle inte formulera en så tydlig regel, men det kanske kommer att fungera för dig. Dock skulle jag rekommendera dig att bara se det som en tumregel, inte en ofelbar regel.

Okej. Tackar så mycket för svaren!