Vektorer och Plan

Asså, om man vill räkna avståndet mellan två plan som vi vet är parallella ,

A0x + B0y + C0z = 0 (passerar origo)

Ax + By + Cz + D = 0

Hur tänker man här asså?
Vi har typ origo men avståndet ska tydligen skrivas i formler så att svaret blir:
d= |(A_0 D)/A| ∙ 1/√(A_0^2+B_0^2+ C_0^2 )

Fattar inte hur man tänkt här!

P = (Ax + By + Cz + D = 0), plan 1
P0 = (A0x + B0y + C0z = 0), plan 2

n = (A,B,C) normalvektor 1
n0 = (A0,B0,C0) normalvektor 2

∂ = valfri vektor från det ena planet till det andra (vilka punkter som helst). Vi väljer ∂ = ((D/A),0,0). Det exemplet pekar från origo, där plan 2 finns, till ((D/A),0,0) där plan 1 finns.
d = ∂ projicerat på n eller n0. Detta eftersom den kortaste vägen mellan två parallella plan är parallell med normalvektorn.

d = ∂•n/|n| = |D A0/A|/√|n|, QED.

Ekvationen Ax + By + Cz + D = 0 kan skrivas (A, B, C) · (x, y, z) = -D.

Låt (x0, y0, z0) vara den punkt i detta plan som ligger närmast origo. Man inser lätt att (x0, y0, z0) ligger på planets normal genom origo, dvs (x0, y0, z0) = λ(A, B, C) för något reellt λ. Därför gäller
(A, B, C) · λ(A, B, C) = -D
dvs
λ = -D/(A²+B²+C²).

Alltså gäller (x0, y0, z0) = λ(A, B, C) = -D(A, B, C)/(A²+B²+C²) och avståndet till origo blir
d = √(x0²+y0²+z0²) = √(D²(A²+B²+C²)/(A²+B²+C²)²) = |D|/(A²+B²+C²).

Tack, men här kommer du fram till att|D|/(A²+B²+C²) inte |D A0/A|*1/√|A0,B0,C0|.


(D/A), varför just den punkten?

Du behöver vilken vektor som helst som går mellan de båda planen. Origo ligger ju på det ena planet, och (D/A,0,0) ligger på det andra, eftersom Plan2(-D/A,0,0) = Ax+By+Cz+D = A(-D/A)+B(0)+C(0)+D = -AD/A + D = -D+D = 0.

(jag tog det positiva, men det gör ingen skillnad, avståndet från a till b är detsamma som från b till a)

Jag ser nu att jag räknat litet fel. Det ska vara d = |D|/√(A²+B²+C²).

Eftersom vi vet att planen är parallella gäller (A0, B0, C0) = λ (A, B, C) för något tal λ.
Därför blir |D A0/A|/√(A0²+B0²+C0²) = |D λ|/√(λ²A²+λ²B²+λ²C²) = |D|/√(A²+B²+C²).