Utvidga bas (matris)

Hej, jag har fastnat på b) uppgiften så skulle vilja ha lite hjälp.

Låt W vara det delrum i R^4 som spänns upp av vektorerna

v1=(1,-1,1-,1)^T
v2=(1,2,1,2)^T
v3=(1,0,0,1)^T
v4=(1,-3,-1,-1)^T

a) Bestäm en bas för W
b) Utvidga denna bas till en bas för hela R^4

Jag har gjort a) uppgiften och fått :

v1=(1,0,1,0)^T
v2=(0,1,0,1)^T
v3=(0,0,1,-1)^T
v4=(0,0,0,1)^T

Och nu behöver jag hjälp med b) uppgiften. Hur ska jag göra?

Tacksam på förhand!

A uppgiften är fel. Definitionen för en bas är att vektorerna ska vara linjärt oberoende och spänna upp. Efter att du gaussat så ska du se vilka vektorer motsvarar mot ledande ettor i den reducerade matrisen, så när du satt in v1v2v3v4 och gaussat och om du får en ledande etta i varje rad så är v1 v2 v3 och v4 alla vektorer som spänner upp.

Vi har
v1 = (1, -1, -1, 1)
v2 = (1, 2, 1, 2)
v3 = (1, 0, 0, 1)
v4 = (1, -3, -1, -1)

Jag ställde upp matrisen bestående av v1, ..., v4 liggande:

Efter Gaussreducering hade jag

Detta betyder att vi för W har fått fram en bas av 3 vektorer:
b1 = (1, 0, 0, 1)
b2 = (0, 0, -1, 1)
b3 = (0, 1, 0, 1)

Därmed har W 3 dimensioner.

För att få en bas för hela R^4 behöver vi hitta en fjärde vektor som är linjärt oberende av b1, b2, b3. Det är lätt att se att vi kan ta b4 = (0, 0, 0, 1). Kan du motivera varför?