Mina frågor finns i slutet av beviset
Formulera och bevisa entydighetssatsen för Maclaurinutveckling.
Sats:
Antag att funktionen f och dess derivator till och med ordning n+1 är kontinuerliga och att
[tex]f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+..+a_{n}x^n+x^{n+1}B(x) ,[/tex]
där funktionen B(x) är begränsad i en omgivning av x=0. Då är detta Maclaurinutvecklingen av f, d.v.s
[tex]a_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!},k=0,1,...,n.[/tex]
Bevis:
Satsen visar med hjälp av induktion. Enligt förutsättningarna på f finns en Maclaurinutveckling
[tex]f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+...+\frac{f^{(n)}(0)}{ n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}[/tex]
Genom att sätta x=0 i satsen ser man att [tex]a_{0}=f(0)[/tex]. Antag nu att
[tex]a_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}[/tex] för k=0,1,...p-1 [tex](p\leq n)[/tex]
I så fall gäller att
[tex]a_{p}x^{p}+a_{p+1}x^{p+1}+...+x^{n+1}B(X)=[/tex]
[tex]=\frac{f^{(p)}(0)}{p!}x^p+\frac{f^{(p+1)}(0)}{(p+1 )!}x^{p+1}+...+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{((n+1)!}x^{n+1}[/tex]
För alla [tex]x\neq 0[/tex] gäller alltså
[tex]a_{p}+a_{p+1}x+...+x^{n+1-+}B(x)=[/tex]
[tex]=\frac{f^{(p)}(0)}{p!}+\frac{f^{(p+1)}(0)}{(p+1)!} +...+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{((n+1)!}x^{n+1-p}[/tex]
Gränsövergången x->0 ger att
[tex]a_{p}=\frac{f^{(p)}(0)}{p!}[/tex]
eftersom funktionen B(x) är begränsad i en omgivning av 0. Detta avslutar indikationen och därmed hela beviset.
Mina frågor:
1) Är det här beviset färdigt? Eller saknas det något?
Formulera och bevisa entydighetssatsen för Maclaurinutveckling.
Sats:
Antag att funktionen f och dess derivator till och med ordning n+1 är kontinuerliga och att
[tex]f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+..+a_{n}x^n+x^{n+1}B(x) ,[/tex]
där funktionen B(x) är begränsad i en omgivning av x=0. Då är detta Maclaurinutvecklingen av f, d.v.s
[tex]a_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!},k=0,1,...,n.[/tex]
Bevis:
Satsen visar med hjälp av induktion. Enligt förutsättningarna på f finns en Maclaurinutveckling
[tex]f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+...+\frac{f^{(n)}(0)}{ n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}[/tex]
Genom att sätta x=0 i satsen ser man att [tex]a_{0}=f(0)[/tex]. Antag nu att
[tex]a_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}[/tex] för k=0,1,...p-1 [tex](p\leq n)[/tex]
I så fall gäller att
[tex]a_{p}x^{p}+a_{p+1}x^{p+1}+...+x^{n+1}B(X)=[/tex]
[tex]=\frac{f^{(p)}(0)}{p!}x^p+\frac{f^{(p+1)}(0)}{(p+1 )!}x^{p+1}+...+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{((n+1)!}x^{n+1}[/tex]
För alla [tex]x\neq 0[/tex] gäller alltså
[tex]a_{p}+a_{p+1}x+...+x^{n+1-+}B(x)=[/tex]
[tex]=\frac{f^{(p)}(0)}{p!}+\frac{f^{(p+1)}(0)}{(p+1)!} +...+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{((n+1)!}x^{n+1-p}[/tex]
Gränsövergången x->0 ger att
[tex]a_{p}=\frac{f^{(p)}(0)}{p!}[/tex]
eftersom funktionen B(x) är begränsad i en omgivning av 0. Detta avslutar indikationen och därmed hela beviset.
Mina frågor:
1) Är det här beviset färdigt? Eller saknas det något?
