Citat:
Ursprungligen postat av
quaresmask
Hej,
jag har fastnat på den här uppgiften och det går inte att fortsätta kan ni hjälpa mig?
Bestäm alla stationära punkter till f(x,y,x)=x+y+z under bivillkoret x^2+y^2+z^2+xyz=4
Då inför jag Lagrange funktionen
F(x,y,z,λ)=x+y+z+λ(x^2+y^2+z^2+xyz-4)
Jag börjar med att derivera:
fx'=1+λ2x+λyz=0 => 1+λ(2x+yz)=0
fy'=1+λ2y+λxz=0 => 1+λ(2y+xz)=0
fz'=1+λ2z+λxy=0 => 1+λ(2x+xy)=0
fλ'=x^2+y^2+z^2+xyz-4=0
Hur ska jag fortsätta?
Tacksam på förhand!
1+λ(2x+yz) = 0 ger λyz = -1-2λx och därmed λxyz = -x-2λx².
På samma sätt erhålles λxyz = -y-2λy² och λxyz = -z-2λz².
Från λxyz = -x-2λx² och λxyz = -y-2λy² får vi -x-2λx² = -y-2λy² som kan skrivas om som
0 = (x-y)+2λ(x²-y²) = (x-y)(1+2λ(x+y)).
Denna löses av x-y = 0 eller 1+2λ(x+y) = 0.
På samma sätt får vi att x-z = 0 eller 1+2λ(x+z) = 0 ska gälla, samt y-z = 0 eller 1+2λ(y+z) = 0.
Utforska de olika lösningarna och vad de ger insatta i övriga ekvationer, även i x^2+y^2+z^2+xyz-4=0.
