Kurvintegral

Beräkna kurvintegralen [tex]\int _{\gamma }2ydx-zdy+x^3dz[/tex] där gamma är skärningskurvan mellan cylindern x^2+y^2=1 och planet x+2y+z=1 och gammas omloppsriktning är sådan att gammas projektion på xy-planet har positiv omloppsriktning.

Och jag låter sigma vara den del av planet x+2y+z=1 och en parametrisering av sigma är [tex] x=u, y=v, z=1-u-2v,u^2+v^2\leq 1[/tex]

och r = (u,v,1-u-2v) och ru' = (1,0,-1) och rv' = (0,1,-2) så ru'Xrv' = (1,2,1)

[tex]\int _{\gamma }2ydx-zdy+x^3dz= (enligt Stokes sats) \int \int _{\sigma }(grad*(2y,-z,x^3)NdS=\int \int _{\sigma }(1,-3x^2,-2)NdS[/tex]

Det är den sista delen som jag har problem med. Hur får man (1,-3x^2,-2)? Jag försökte derivera 2ydx-zdy+x^3dz men det blir ju 0,0,0 och om man multiplicerar det med (2y,-z,x^3) så blir det fel hur ska jag göra för att få fram (1,3x^2,-2)??

Tacksam på förhand!

Ytans normal hade du kunnat få direkt från planets ekvation x+2y+z=1.


F = (2y, -z, x³)

rot F = ∇ × F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z, ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x, ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)
= (∂(x³)/∂y - ∂(-z)/∂z, ∂(2y)/∂z - ∂(x³)/∂x, ∂(-z)/∂x - ∂(2y)/∂y)
= (0 - (-1), 0 - 3x², 0 - 2)
= (1, -3x², -2)

Tack så mycket!

Tack