Potensserie

Hej, har fastnat totalt på denna uppgift. Har provat att integrera och derivera på olika sätt i flera timmar nu skulle vara enormt tacksam om någon kunde visa hur man gör på den här sortens uppgifter. Jag kan de lite enklare fallen men det finns inga exempel i min kurslitteratur som behandlar den här typen som jag fastnat på.

http://imgur.com/BVF5SzH

Konvergensradien fick jag nästan rätt på genom att kolla kvoten då k -> inf, men tydligen så måste man få ett uttryck för summan annars så vet man inte att konvergensintervallet är halvöppet.

Sätt f(x) = ∑_{k=1}^{∞} x^k / (k+3).

Då är x³ f(x) = ∑_{k=1}^{∞} x^(k+3) / (k+3).

Derivatan av detta är
(x³ f(x))´ = ∑_{k=1}^{∞} x^(k+2) = x³ ∑_{k=1}^{∞} x^(k-1) = x³ ∑_{k=0}^{∞} x^k
= { om |x| < 1 } = x³ · 1/(1-x) = x³/(1-x) = -x²-x-1 + 1/(1-x).

Vi antideriverar:
x³ f(x) = -x³/3 - x²/2 - x - ln |1-x|

Alltså får vi
f(x) = -1/3 - 1/(2x) - 1/x² - (1/x³) ln |1-x|


Konvergens

Vi har ovan använt konvergens för |x| < 1, men serien för f(x) konvergerar även för x = -1. Då har vi nämligen en alternerande serie med avtagande storlek på termerna. I fallet x = +1 har vi däremot en divergent harmonisk serie.

Alternativ lösning

Sätt f(x) = ∑_{k=1}^{∞} x^k / (k+3).

Då är x³ f(x) = ∑_{k=1}^{∞} x^(k+3) / (k+3) = ∑_{k=4}^{∞} x^k / k.

Här känner vi (nästan) igen Maclaurinserien ln (1-x) = ∑_{k=1}^{∞} x^k / k med konvergensintervall -1 ≤ x < 1.

Vi konstaterar att x³ f(x) = ln (1-x) - ∑_{k=1}^{3} x^k / k = ln (1-x) - (x + x²/2 + x³/3).

Alltså, f(x) = (1/x³) ln (1-x) - (1/x² + 1/(2x) + 1/3).

Tack så himla mycket Manne !!