Ytintegral

Beräkna ytintegralen [tex]\int \int F*N\black dS[/tex] där Y är den del av ytan [tex]x^2+y^2+z^4=2, z\geq 0[/tex], N är den utåtriktade enhetsnormalen till Y och F=[tex](yz,-x^2y,x^2+x^2z+z)[/tex]

Jag låter sigma vara ytan [tex]x^2+y^2\leq 2,z=0[/tex] och n vara den nedåtriktade enhetsnormalen till sigma. Och låter D vara mängden [tex]x^2+y^2+z^4\leq 2,z\geq 0[/tex].

Enligt divergenssatsen gäller då att:
[tex]\int \int_{Y} F*N\black dS+\int \int _{\sigma } F*n\black dS=\int \int \int _{D}div F\black dxdydz[/tex]

Så en parametrisering av sigma blir x=u, y=v och z=0, [tex]u^2+v^2\leq 2[/tex]. Med r = (u,v,0)

Så [tex]r_{1}Xr_{2} = (0,0,1)[/tex]

Och nu fastnar jag för lösningsförslaget gör nåt konstigt som jag inte fattar.

Det här gör de:

[tex]\int \int _{\sigma }F*ndS=\int \int _{\sigma }(yz,-x^2y,x^2+x^2z+z)*ndS=[/tex]
[tex]=-\int \int _{u^2+v^2\leq 2}(0,-u^2v,u^2)*(0,0,1)dudv[/tex]

Det här förstår jag inte, hur får de (0,-u^2v,u^2)?? Det här är det enda steget som jag inte fattar och skulle bli jätte tacksam om någon kunde hjälpa mig! Jag tror att det hänger ihop med
Div F blir ju 0,-x^2,x^2+1 men då blir det konstigt ändå för de lägger till v i mitten och ettan försvinner

Intressant att du här inte missar det du missade i (FB) Beräkna flödet av fältet.

Eftersom x = u, y = v, z = 0 blir
yz = 0,
-x^2 y = -u^2 v,
x^2 + x^2 z + z = u^2.

Eftersom den här frågan hade ett lösningsförslag så fattade jag hur de gör steg för steg. Det var därför jag frågade om du kunde visa din beräkning istället för att förklara!

Behöver du inte lära dig principer innan du förstår de konkreta beräkningarna?
Om du förstår beräkningen här och principerna från den, varför inte tillämpa dem på den andra uppgiften?

En fråga: Kan du förklara varför du inför ytan sigma?