Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
2016-01-02, 08:37
  #1
Medlem
Hur adderar man ihop två trigonometriska funktioner om de har olika amplitud och vinkelfrekvens, alltså exempelvis A·cos[Ω·t + α] + B·cos[ω·t + β] (där A och B är olika amplituder, Ω och ω olika vinkelfrekvenser, α och β olika fasvinklar och t en tidsvariabel)?
Hur skulle en mer "kompakt" ekvation se ut?

Kan man kanske utnyttja någon trigonometrisk identitet eller någonting i den stilen?
__________________
Senast redigerad av Mikael861 2016-01-02 kl. 08:42.
Citera
2016-01-02, 08:51
  #2
Medlem
nihilverums avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Mikael861
Hur adderar man ihop två trigonometriska funktioner om de har olika amplitud och vinkelfrekvens, alltså exempelvis A·cos[Ω·t + α] + B·cos[ω·t + β] (där A och B är olika amplituder, Ω och ω olika vinkelfrekvenser, α och β olika fasvinklar och t en tidsvariabel)?
Hur skulle en mer "kompakt" ekvation se ut?

Kan man kanske utnyttja någon trigonometrisk identitet eller någonting i den stilen?

När vinkelfrekvenserna är olika går det inte att skriva summan på något mer kompakt sätt. Testa exempelvis att plotta cos(2x) + cos(3x) på WolframAlpha så ser du att det inte blir en "vanlig" trigonometrisk funktion utan enbart just summan av två trigonometriska funktioner.

Om vinkelfrekvenserna är desamma och bara förskjutningarna (dina α och β) samt amplituderna (dina A och B) är olika så kan man dock förenkla i enlighet med de här reglerna.
Citera
2016-01-02, 17:20
  #3
Medlem
Om Ω och ω är ungefär samma så blir det svävning:

A cos Ωt + B cos ωt = 0.5(A+B) (cos Ωt + cos ωt) + 0.5(A-B) (cos Ωt - cos ωt) = 0.5(A+B)·2 cos ((Ω + ω)/2)t · cos ((Ω - ω)/2)t - 0.5(A-B)·2 sin ((Ω + ω)/2)t · sin ((Ω - ω)/2)t = √[(A+B)² cos² ((Ω - ω)/2)t + (A-B)² sin² ((Ω - ω)/2)t] cos[((Ω + ω)/2)t + φ(t)] = √[(A+B)² (1 + cos (Ω - ω)t)/2 + (A-B)² (1 - cos (Ω - ω)t)/2] cos[((Ω + ω)/2)t + φ(t)] = √[A² + B² + 2AB cos (Ω - ω)t] cos[((Ω + ω)/2)t + φ(t)] = √[A² + B² + 2AB cos (Δω·t)] cos(ω'·t + φ(t))

där φ(t) och tidsberoende amplitud varierar långsamt jämfört med ω'·t. Det här är ingen kompakt ekvation, men det går ändå inte göra nåt annat. Det blir lite enklare när A=B. Jag strundate i α och β med de spelar ingen större roll.
Citera

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback