Beräkna flödet av fältet

Ytan S beskrivs av [tex]x^2+y^2+z^2=1, z\geq 0[/tex] och är orienterad så att normalen har positiv z-koordinat. Beräkna flödet av fältet [tex]F\black = (x,y,(z-1)^2)[/tex] genom S.

Jag använde mig utav den här formeln: [tex]\int \int \int div F\black dxdydz[/tex]

Div F = (1,1,2z-2)

Så trippelintegralen blir:

[tex]\int \int \int (1+1+2z-2)dxdydz=\int \int \int (2z)dxdydz=[/tex]
[tex]\int \int [z^2]^{\sqrt{1-x^2-y^2}}_{0}dxdy=\int \int (1-x^2-y^2)dxdy[/tex]

Variabelbyte till polära koordinater:

[tex]x=rcos\theta [/tex]
[tex]y=rsin\theta [/tex]

Funktionaldeterminanten blir: r
[tex]0\leq r\leq 1[/tex]
[tex]0\leq \theta \leq 2\pi [/tex]

[tex]\int \int (1-r^2cos^2\theta-r^2sin^2\theta )rdrd\theta[/tex]
[tex]=\int \int (1-r^2(cos^2\theta +sin^2\theta )rdrd\theta =\int \int (1-r^2)rdrd\theta =2\pi \int_{0}^{1}(r-r^3)dr[/tex]
[tex]=2\pi [\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}]^{1}_{0}=2pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})=\frac{\pi }{2}[/tex]

Men svaret blir fel. Det ska bli 3pi/2 och min fråga är vart jag gör fel??

Har du subtraherat inflödet genom bottenytan z = 0, x^2+y^2 < 1 ?

Hur menar du? Det är ju en trippelintegral så man kan väll inte subtrahera?

Du skulle beräkna flödet genom en halvsfär, men har använt Gauss sats och integrerat divergensen över ett område (ett halvklot) som delvis begränsas av halvsfären, delvis av en cirkelskiva. Du erhåller därvid flödet genom halvsfären plus flödet genom cirkelskivan.

Gauss sats säger i det här fallet:
Flöde ut genom halvsfär + flöde ut genom cirkelskiva = total divergens i halvklotet

Så här får du alltså flödet genom halvsfären:
Flöde ut genom halvsfär = total divergens i halvklotet - flöde ut genom cirkelskiva

Du behöver alltså beräkna flödet ut genom cirkelskivan, en enkel dubbelintegral, och subtrahera detta från vad trippelintegralen gav.

Obs! På cirkelskivan är normalen lika med enhetsvektorn i z-axelns negativa riktning.

Jag genomförde en direkt beräkning av flödet upp genom halvsfären och fick resultatet 3pi/2.

Jag genomförde även direkt beräkning av flödet ned genom cirkelskivan och fick resultatet -pi. (Minustecknet innebär att flödet egentligen går uppåt. För Gauss sats ska vi dock använda flödet nedåt.)

Din beräkning av totala divergensen gav resultatet pi/2. Enligt Gauss sats är detta tillika totala flödet ut ur halvklotet genom dess två begränsningsytor.

Detta ger:
utflöde genom halvsfär = totalt utflöde - utflöde genom cirkelskiva = pi/2 - (-pi) = 3pi/2.

Tack för dina svar! Men hur beräknar du? Kan du inte visa dina steg? För att när du beskriver med ord så förstår jag inte, måste se beräkningen

Jag vill i första hand försöka förmedla teori, inte exakta beräkningar.


Är du med på vad du har gjort för fel?
Om inte, kan du formulera Gauss sats?

Nej, inte riktigt! Men Gauss sats är väl trippelintegralen av (grad f)dv som är lika med dubbelintegralen av F*n ds?

Nästan ...
Trippelintegralen av div F dV är lika med dubbelintegralen av F*n dS.

Men hur hänger området som trippelintegralen tas över ihop med området som dubbelintegralen tas över?

Eftersom jag tog polära koordinater så vet jag inte riktigt

Känns som att jag inte kan det här med ytintegraler

Om du inte hade tagit polära koordinater, hade du vetat då?

Gauss sats säger:
∫∫∫_Ω div F dV = ∫∫_∑ F · n dS,
där ∑ är randen av Ω.

I ditt fall är Ω området över vilket du utförde trippelintegralen. Hur ser detta ut?
Hur ser randen ∑ av området ut?

Är det derivatan? Alltså grad F?