Ytintegral

Hej, jag har fastnat på den här uppgiften,

Bestäm arean av den del av planet z = 1 + x + 2y som ligger innanför
konytan z = Sqrt(2x^2+10y^2).

Jag har parametiserat planet samt räknat ut areaförändringen då man projicerar ner ytan i xy-planet.
Mitt problem är att jag inte kan komma fram till över vilket område D i xy-planet som jag ska integrera över. Tänkte att villkoret 1+x+2y >= Sqrt(2x^2+10y^2) måste gälla och har provat att få integrationsgränser i både xy variabler samt i polära men hamnar i hopplösa uträkningar.

tacksam för lite hjälp

Parametrisering på konen:
sqrt(2) x = z cos(t)
sqrt(10) y = z sin(t)

Insättning av z = 1 + x + 2y:
sqrt(2) x = (1 + x + 2y) cos(t)
sqrt(10) y = (1 + x + 2y) sin(t)

Ommöblering av termer:
(sqrt(2) - cos(t)) x - 2 cos(t) y = cos(t)
-sin(t) x + (sqrt(10) - 2 sin(t)) y = sin(t)

Invertering:
x = ((sqrt(10) - 2 sin(t)) cos(t) + 2 cos(t) sin(t)) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))
y = (sin(t) cos(t) + (sqrt(2) - cos(t)) sin(t)) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))

Förenkling:
x = (sqrt(10) cos(t)) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))
y = (sqrt(2) sin(t)) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))

Detta ger:
z = sqrt(2x^2+10y^2) = sqrt(20) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))

tack för svaret!! Jag förstår dock tyvärr inte riktigt vad du kommit fram till . Jag parametiserade planet och försökte sedan ta reda på projektionen ner i xy-planet. Varför valde du att parametisera konen istället?

Jag insåg att jag kunde utgå från en parametrisering av konen eftersom kurvan ligger på konen.

I princip har jag parametriserat konen, som är en tvådimensionell mångfald, i två variabler: t och z.
Sedan har jag parametriserat kurvan, en endimensionell mångfald, på konen, i en variabel: t.

Sammanslaget får jag en parametrisering av kurvan i rummet:
x = (sqrt(10) cos(t)) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))
y = (sqrt(2) sin(t)) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))
z = sqrt(2x^2+10y^2) = sqrt(20) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))

Projektionen på xy-planet blir:
x = (sqrt(10) cos(t)) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))
y = (sqrt(2) sin(t)) / (sqrt(20) - sqrt(8) sin(t) - sqrt(10) cos(t))

Jag funderar nu över om det går bra att parametrisera konen över t och u = z - x - 2y i stället.

Sätt u = sqrt(2) x, v = sqrt(10) y.
Då blir konens ekvation z = sqrt(u^2+v^2).

Sätt sedan u = ξ cos(θ) + η sin(θ), v = -ξ sin(θ) + η cos(θ).
Konens ekvation blir z = sqrt(ξ^2+η^2).
Planets ekvation blir
z = 1 + (ξ cos(θ) + η sin(θ))/sqrt(2) + 2 (-ξ sin(θ) + η cos(θ))/sqrt(10)
= 1 + (cos(θ)/sqrt(2) - 2 sin(θ)/sqrt(10)) ξ + (sin(θ)/sqrt(2) + 2 cos(θ)/sqrt(10)) η

Vi ska nu välja θ så att sin(θ)/sqrt(2) + 2 cos(θ)/sqrt(10) = 0.
Detta görs genom att ta sin(θ) = -2λ/sqrt(10), cos(θ) = λ/sqrt(2), där λ ska väljas så att trigonometriska ettan uppfylls.
Vi får λ = sqrt(10)/3 och alltså sin(θ) = -2/3, cos(θ) = sqrt(5)/3.

Planets ekvation blir därmed
z = 1 + (3/sqrt(10)) ξ


Kurvan utgör snitt mellan konen och planet, vilket ger ekvationen
ξ^2+η^2 = (1 + (3/sqrt(10)) ξ)^2 = 1 + (6/sqrt(10)) ξ + (9/10) ξ^2
så att
1 - η^2 = ξ^2 - (6/sqrt(10)) ξ - (9/10) ξ^2 = (1/10) ξ^2 - (6/sqrt(10)) ξ
= (1/10) (ξ^2 - 6 sqrt(10) ξ) = { kvadratkomplettering }
= (1/10) ((ξ - 3 sqrt(10))^2 - 90) = (1/10) (ξ - 3 sqrt(10))^2 - 9
dvs (ξ, η) ligger på ellipsen
(1/10) (ξ - 3 sqrt(10))^2 + η^2 = 10
som även kan skrivas
(ξ - 3 sqrt(10))^2/10^2 + η^2/10 = 1
vilket alltså är en ellips med centrum i (3 sqrt(10), 0), halvaxel 10 i ξ-led och halvaxel sqrt(10) i η-led.

ok tack så himla mycket!! jag uppskattar verkligen att du tar dig tid till så pass utförliga svar.
En sista fråga, är det möjligt att komma fram till samma svar genom att lösa
ekvationen 1+x-2y =sqrt(2x^2+10y^2) eller är variabelbytena du gör nödvändiga för att uträkningen ska gå att hantera för hand?

Det borde gå att göra det så också och sedan utföra en diagonalisering för att utföra ett variabelbyte där det inte finns någon korsterm (såsom xy som vi får efter kvadrering av ekvationen ovan). Jag försökte göra detta tidigare, men fick jobbigare värden än den här vägen.