Totala derivatan

Partiella derivator och ordinära derivator har man traglat många år men plötsligt poppar begreppet totala derivator upp ut intet. Har aldrig hört talas om detta förut. När jag ville förstå kurvilinjära koordinater så är första formel för att definiera begreppet skalfaktorer denna ekvation:

(1) http://xam.nu/f/totalderivative.JPG

dx är summan av ändringar i alla tre dimensionerna på något sätt. Det är INTE summan av de partiella derivatorna. Intiutivt kan jag "förstå" denna ekvation men då jag ville ha en utförligare beskrivning så hamnade jag på begreppet totala derivator. Wikipedia har en sida som bara gör det hela ännu mer bisarrt och inte ger nån förståelse alls, eller nått pedagogiskt bevis:

https://en.wikipedia.org/wiki/Total_derivative

En sida där det fanns en djupare matematisk beskrivning av totala derivatan finns här men det gör mig om inte ännu mer förvirrad. totala derivatan dt är inte en ordinär derivara eller en partiell derivata.
https://spin0r.wordpress.com/2013/01...l-derivatives/

Finns det nån som kan förklara, så en förstår? Jag tror att kan man bara bevisa ekv (1) ur vektoranalys så tor jag det är enklast. jag förstår formel (1) intiutivt men kan inte formellt visa den.

Totala derivatan är ett exempel på kedjeregeln:

Vi har ett fält f(t, x, y, z) och en partikel som följer en bana (x(t), y(t), z(t)).
Partikelns "mätning" av fältet vid olika tidpunkter följer då g(t) = f(t, x(t), y(t), z(t)).
Vad är derivatan av g(t)?

dx är total differential, inte total derivata. När man har en funktion med 3 variabler x(u₁, u₂, u₃), differential av x är en funktion av 6 variabler: dx(u₁, u₂, u₃, Δu₁, Δu₂, Δu₃) linjär i Δu₁, Δu₂, Δu₃ sådan att lim {(Δu₁, Δu₂, Δu₃) → (0,0,0)} (x(u₁+Δu₁, u₂+Δu₂, u₃+Δu₃) - x(u₁, u₂, u₃) - dx(u₁, u₂, u₃, Δu₁, Δu₂, Δu₃)) / √(Δu₁²+Δu₂²+Δu₃²) = 0.

Om differential existerar så har den en form dx(u₁, u₂, u₃, Δu₁, Δu₂, Δu₃) = (∂x/∂u₁)Δu₁ + (∂x/∂u₂)Δu₂ + (∂x/∂u₃)Δu₃. Däremot om partiella derivator finns, det betyder inte att differential finns: partiella derivator handlar om gränsvärden när en variabel går mot nånstans medan andra variabler förblir konstanta; differential handlar om gränsvärde när Δu₁, Δu₂, Δu₃ går mot noll tillsammans.

Om man antar g(u₁) = u₁ så får man dg(u₁, Δu₁) = Δu₁, eller alltså du₁ = Δu₁ (du₁ är egentligen en funktion av 2 variabler, u₁ och Δu₁, men den beror bara på Δu₁). Därmed kan man ersätta Δu₁, Δu₂, Δu₃ i uttrycket för dx med du₁, du₂, du₃.

Manne jag ska räkna igenom ditt exempel ocg försöka bena ut var g(t) blir.

Arseniy Ah, hjärnsläpp så klart det är totala differentialen inte derivatan. jag blandar lätt ihop begreppen , vilket gör det inte lättare.

Jag kom på en sak som borde illustrera det hela enkelt. Om man tänker sig en area A=b*h om man differentierar både bas och höjd så syns det lättare. MEN då uppstod ett annat krux. Som jag lärt mig så ska man kunna differentiera och sen gå tillbaka med en integrering plus att det bildas en konstant. Men om jag gör det med en area (b*h) så får jag dels ett uttryck db*dh som jag inte vet hur man integrerad då det finns två differenser och bara ett integraltecken. db*dh går ioförisg mot noll så den termen försvinner ändå. Men resultatet blir A=2bh om man går baklänges.

se bifogad uträkning:
http://xam.nu/f/area.jpg

Varför kan man inte integrera tillbaka rakt av? Jag gör uppenbarligen nånting trivialt fel.

Man måste integrera genom att välja nån bana (kurva) i 2-dimensionell rum (b,h) som går från (0,0) till (B,H) och sen beräkna kurvingetral ∫ (h db + b dh) längs kurvan.

T.ex. rak streck från (0,0) till (B,H): b(t) = B·t, h(t) = H·t, ∫ (h db + b dh) = ∫ (från 0 to 1) (H·t·B·dt + B·t·H·dt) = 2·H·B·∫ (från 0 to 1) t dt = 2·H·B·(1²/2) = H·B

Eller så ett streck från (0,0) till (B,0) och därifrån till (B, H): ∫ (h db + b dh) = ∫ (från 0 to B) (0·db + b·0) + ∫ (från 0 to H) (h·0 + B·dh) = ∫ (från 0 to H) (B·dh) = B·H

Inte om du tar rätt uttryck för differential. Differential måste, enligt definition, ha form d(f(b,h)) = p(b,h)·db + q(b,h)·dh, alltså inga db·dh.

okej jag förstår. Ser man på problemet först så är det inte helt uppenbart att man ska använda sig av en linjeintegral.




fast ser man på min figur finns ju faktiskt en liten area dh*db men jag antar att bidraget från den försvinner.

Differential är inte differensen A(b+db, h+dh) - A(b,h), den är linjära delen av differensen.

Jag har en del att smälta av definitioner som jag missat. Har förut mest mekaniskt räknat på det man lärt sig utan att reflektera så mycket. När man börjar fundera så inser jag att en del saker har jag missat.

Ofta poppar en definition upp i fysikböckerna som tas för givet men bakom detta ligger massor av saker som när man börjar nysta i det inser det inte är så enkelt.


Definitionen av en differential till: d(f(b,h)) = p(b,h)·db + q(b,h)·dh är väl gjord just för att det har visat sig praktiskt användbart inom matematik och fysik. Det jag är ute efter lite är att det inte är förbjudet att definiera nånting som dA= hdb+dbh+dh*db men det kanske inte är så användbart, man kanske inte ska kalla dA för diffrential utan Flegdifferial.

Kan tilläggas att relativa differensen mellan ΔA = A(b+db, h+dh) - A(b,h) = h·db + b·dh + db·dh och dA = h·db + b·dh, vilken är (ΔA - dA) / dA = db·dh / (h·db + b·dh) = 1/(h/dh + b/db), går mot noll när db och dh går mot noll (förutom när b och h är noll). Alltså skillnaden mellan differansen och differential försvinner.

Aha, jag förstår.

Jag gick igenom linjeintegreringen och nu förstår jag när du parametriserar och byter ut bägge funktionerna mot en funktion i stället (t) då klaffar allt. Elegant.

jag antar att om vi har fältet f(t,x,y,z) så är det vanligtvis konstant med tiden t men fältet ändras av x,y, z .

använder man kedjergeln borde det bli

df/dt = ∂f/∂t*dt/dt + ∂f/∂x*dx/dt + ∂f/∂y*dx/dt+ ∂f/∂z*dz/dt