partiell derivata kurvilinjära koordinater

Du kan kika på Vector Calculus av P.C. Matthews, Springer.

Har nog inget bra tips. För min del klarnade det nog först i o m att jag läste General Relativity av Wald, men det är ju overkill om man inte vill lära sig den allmänna relativitetsteorin (GR).

Men jag kan ju iaf antyda vad den insikten bestod i. Saken är den att i GR (och mer allmänt, i differentialgeometri) så definieras allting koordinatoberoende i så hög grad som det går. T ex som jag just har antytt här om div. Detta gör att det faktiskt även händer en del skumma saker även med derivator. Vad menas t ex med att ett vektorfält är konstant längs en kurva? Det vi vill beskriva är att vektorfältet har samma storlek och riktning överallt längs kurvan, men om koordinaterna är kurvlinjiga så innebär det ju det att den konstanta vektorn INTE måste ha konstanta komponenter! Så hur formulerar man villkoret att vektorfältet ska vara konstant? Svaret är alltså *inte* att vanliga derivator (definierade på det vanliga sättet) ska vara noll! Däremot kan man definiera en s k kovariant derivata med den önskade egenskapen (att derivatan av A längs en riktning ska vara noll om A är konstant i den riktningen) som består av vanliga derivator PLUS en tensorliknande term (med s k Christoffelsymboler som beror på metriken, dvs i det här fallet skalfaktorerna). Den kovarianta derivatan symboliseras med ∇, vilket nu alltså INTE längre är samma som ett gäng partialderivator (utom i det enkla specialfallet med Cartesiska koordinater, i okrökta rum). Om man nu bildar ∇•A så har man en storhet som (a) har en koordinatoberoende definition och som (b) blir den vanliga divergensen av A i Cartesiska koordinater, och som därför ÄR den naturliga generaliseringen av begreppet till kurvlinjiga koordinater (även i krökta rum). Och detta ger en formel med skalfaktorer...

Så du HAR grund för dina misstankar om att det är något nytt som händer med derivator i kroklinjiga koordinater! Dock inte med själva de partiella derivatorna. Men det nya som händer är alltså med definitionen av ∇ -- den kovarianta derivatan.

BRA intuition där.

Jo jag har börjat ana kopplingarna med relativitetsteorin, men vågar inte ta steget fullt ut ännu. Metriken har jag inte förstått heller vad det är annat än att det är nån form av mer generaliserad formalism av rummet, läste igenom Wikipediaartikeln men förstår det inte än. Tensorer är nånting som jag gissar man inte kan undvika om man vill fördjupa sig mera också. Jag tar ett steg i taget när jag börjar få grepp om skalfaktorerna så tar jag nog nästa steg.

Mycket trevlig och kompakt bok och föredömligt att det finns facit dessutom!

Det var denna uppgift som fick mig att börja fundera på om man måste ta hänsyn till skalfaktorer i partiella derivator.

http://www.physics.princeton.edu/~mc...n_cylinder.pdf
Hoppa till "Solution via Faradays Law" del 2.2.
Jag ville se varför fältet E blev som det blev och satte in Del x E i ekvationen. Se bifogad uträkning.
http://xam.nu/f/feynman.jpg

man får tre oberoende partiella differentialekvationer. Det var rimligt att anta att dom två översta kommer att försvinna då E-fältet rimligtvis borde vara vinkelrätt mot magnetiska fältet,∂E_z=0. Endast ekvation 3 kommer att bidra men jag kunde inte formellt lösa detta ekvationssystem . Sen började jag fundera på om man inte måste ta hänsyn till skalfaktorerna på dom partiella derivatorna så började det snurra till ordentligt.


(Frågan dom ställer sig i 2.5 är förresten jäkligt intressant)