partiell derivata kurvilinjära koordinater

Jag vet hur man tar ut Del dot A genom att använda formel 3 i länken och sätta in skalfaktorerna h1 h2 och h3. Sfäriskt koordinatsystem i detta exempel.

http://xam.nu/f/kurvilinjar.jpg

Men hur gör man om man säg bara vill ta ut en partiell derivata t ex dA(r)/d(teta), dvs man har olika koordinater för täljare och nämnare: formel (2)

Om man vill ta ut ut dA(r)/d(teta) ur formel (1) hur använder man skalfaktorerna då?

A_r = A · r^
r^ = (x, y, z) / √(x²+y²+z²)

Jag är osäker på hur de polära koordinaterna är valda i ditt fall, men om θ är vinkeln från positiva z-axeln och φ vinkeln från positiva x-axeln, runt z-axeln (se https://upload.wikimedia.org/wikiped...erical.svg.png) så gäller r^ = (sin(θ) cos(φ), sin(θ) sin(φ), cos(θ)) uttryckt i standardkoordinaterna.

I din uppgift ger detta
A_r = (r² θ³ φ⁴, r³ θ² φ⁵, r⁵ θ⁴ φ³) · (sin(θ) cos(φ), sin(θ) sin(φ), cos(θ))
= r² θ³ φ⁴ sin(θ) cos(φ) + r³ θ² φ⁵ sin(θ) sin(φ) + r⁵ θ⁴ φ³ cos(θ)

Alltså, ∂A_r/∂θ =
r² 3θ² φ⁴ sin(θ) cos(φ) + r² θ³ φ⁴ cos(θ) cos(φ) +
r³ 2θ φ⁵ sin(θ) sin(φ) + r³ θ² φ⁵ cos(θ) sin(φ)
r⁵ 4θ³ φ³ cos(θ) - r⁵ θ⁴ φ³ sin(θ)

Jag måste nog smälta det där en dag innan jag fullt ut förstår. tror jag anar hur du tänker Men går det inte att på något sätt utnyttja dom kurvilinjära skalfaktorerna för att göra det enklare?

Om A = (A_r, A_θ, A_ϕ) = (r²θ³ϕ⁴, r³θ²ϕ⁵, r⁵θ⁴ϕ³) plockar man helt enkelt ut r-komponenten och deriverar ”partiellt”:

∂A_r/∂θ = ∂(r²θ³ϕ⁴)/∂θ = r²(3θ²)ϕ⁴.

Ger inget då A är uttryckt i ortonormerade komponenter.

Precis. A är uttryckt i polära koordinater. Det som jag inte riktigt förstår är att om om man tar del dot A så måste man använda skalfaktorerna, varför inte i mitt fall?

Del dot A är ju också tre partiella derivator, del= ∂/∂r ∂/∂θ ∂/∂ϕ men då måste man trixa med skalfaktorer varför inte då r θ och ϕ är under en annan komponent som tex ∂θA_r/∂θ

Jag ser inte riktigt betydelsen av att dom är ortonormerade, dvs att ∂θA_r är vinkelrät mot ∂θ

Hann inte korrigera: det ska inte stå ∂θA_r utan ∂A_r

Jag förstår inte riktigt problemet, vilket till en del kan bero på att jag inte förstår din notation? Om A(r) står för samma som r-komponenten i A-fältet, som du har skrivit det, är det bara att ta partialderivatan på vanligt sätt, utan skalfaktorer.

Varför är det då skalfaktorer i ∇•A? Anledningen är att ∇•A står för divergensen av A, som definieras koordinatoberoende m h a Gauss sats:
∫ ∇•A dV = ∫ A•dS
där den vänstra integralen tas över en liten volym ΔV och där den högra tas över begränsningsytan till samma volym. I gränsen att volymen går mot noll får man då uttrycket med skalfaktorer (eller mer generellt med determinanten av metriken då koordinaterna inte ens är ortogonala). I specialfallet med Cartesiska koordinater får man då den kanske mer välbekanta formeln med
[x-derivatan av x-komponenten] + [y-dito] + [z-dito]
men detta gäller bara i detta fall.

Vektoranalys i det mest allmänna fallet, med kroklinjiga koordinater som inte behöver vara ortogonala i D dimensioner och där rummet kan vara krökt, hör till ämnet differentialgeometri. Denna matematik är t ex nödvändig inom den allmänna relativitetsteorin.

Nerdnerd precis som Nail skrev så är allt jag noterar i polära koordinater. Ja du har försått vad det var jag syftade på. Varför man bara i vissa fall som t ex vid ∇•A behöver skalfaktorerna och vid överiga partiella derivator kan drivera på "linjärt" även fast allt är angivet i polära koordinater.
Tycker inte wikipeediasidan riktig ger ett bra svar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Curvilinear_coordinates

Och mitt svar är att det som måste motiveras är de fall då skalfaktorer (eller mer allmänt: metriken) används, inte när skalfaktorerna inte används. T ex just divergens definieras inte bara som en summa av derivator utan på det koordinatoberoende sätt som jag antydde i förra inlägget. Och då blir det skalfaktorer i de allra flesta fall...

Jag trodde jag förstod vad skalfaktorer innebar ett tag innn jag insåg jag bara matar in värden i en formel.

Om jag har förstått det rätt så kan man ta partiella derivatan rakt av utan skalfaktorer för tex ∂A_r/∂θ Om man vill ta partiella derivatan ∂A_θ/∂θ måste man då använda skalfaktorer eller gäller det bara för divergensen? Vi antar det är sfäriska koordinater enbart.

Nej, ingen skalfaktor i det fallet heller. Jag tror att du fortfarande tänker ungefär som så att divergens definieras som en summa av partialderivator. Och därför skulle skalfaktorer i divergensen på något sätt implicera att det blir skalfaktorer även för partialderivatorerna.

Men så är det inte. Definitionen av div är som jag har antytt, och det råkar bara vara så att i just Cartesiska koordinater (i ett okrökt rum) så blir det det en summa av partialderivator.

Ok jag förstår nu att div "råkar" bli enkel i kartesiska system men definitionen är integralen av en liten volym. Har du något tips på litteratur där man går igenom detta på ett pedagogiskt sätt? Jag läser ur Arfken, Weber et al men tycker den är svårläst och lite opedagogisk.