Inverssubstitution

Har fastnat på en uppgift med inverssubstitution.

bild

∫ x²/√(9-x²) dx = { x = 3 sin(t) } = ∫ (3 sin(t))²/√(9-(3 sin(t))²) d(3 sin(t))
= ∫ 9 sin(t)²/√(9-9 sin(t)²) · 3 cos(t) dt = 9 ∫ sin(t)² dt = 9 ∫ (1-cos(2t))/2 dt
= 9 (t+sin(2t)/4) = 9 ( arcsin(x/3) + sin(2 arcsin(x/3))/4 )
= 9 arcsin(x/3) + (9/4) sin(2 arcsin(x/3))

sin(2 arcsin(x/3)) = 2 sin(arcsin(x/3)) cos(arcsin(x/3))
= 2 (x/3) √(1-(x/3)²) = 2x/9 · √(9-x²)

Facit svarar: (9/2) *sin^-1(x/3) - (1/2)x√(9-x^2) + C

Jag svarar: (9/2) *sin^-1(x/3) -(3/2)x + C enligt följande beräkning.

Det är svårt att läsa vad som står på bilden, framförallt för att den är relativt liten, men i slutet ser jag att du har termen 9 sin(2v) / 4 som du verkar skriva om som (3/2) x. Hur gör du det? Du har ju satt x = 3 sin(v).

Litte bättre bild går ju att zooma in också ctrl +

Jag multiplicerar in konstanten 9/2
9/2(v - sin(2v)/2)

9/2v - (9sin(2v)/4)

v= sin^-1(x/3)

(9sin(2v)/4) = (9sin(2*sin^-1(x/3))/4) = 9/4 * 2x/3 = 18x / 12 = 9x / 6 = 3x / 2

sin(2 sin^-1(x/3)) är inte lika med 2x/3.
Hade det stått sin(sin^-1(2x/3)) hade det kunnat förenklas till 2x/3, men nu står det inte så.

Du måste använda formeln för dubbla vinkeln: sin(2u) = 2 sin(u) cos(u).