Hej!
Skulle behöva lite hjälp med den sista deluppgiften på ett läsetal.
Uppgiften:
Ett klassrum med stängda dörrar och fönster och volym 150 kubikmeter är fyllt med friskluft (dvs. 0,03 volymprocent koldioxid) på morgonen. Under dagen kommer 20 studenter sitta i klassrummet. Varje student producerar (och andas ut) ¼ liter koldioxid per minut. När man satt på ventilationen ersätter den varje minut x kubikmeter av luften i rummet med friskluft. Hur stor ska x (m^3/min) vara för att koldioxidhalten inte ska överstiga 800 ppm under dagen?
Mitt försök till lösning:
inflödet av koldioxid (studenternas utandning) = 20 * ¼ * 10^-3 = 0,005 (m^3/min)
Definition:
f(t) = mängden koldioxid i klassrummet vid tiden t. (m^3)
Eftersom koldioxidhalten i klassrummet är f(t)/150 påstår jag att
utflödet av koldioxid (ventilationen) kan skrivas x(f(t)/150 – 0,0003) = x/150 * f(t) – 0,0003x (m^3/min).
Använder massbalandsprincipen:
f ’(t) = inflöde – utflöde = 0,005 – (x/150 * f(t) – 0,0003x) = 0,005 – x/150 * f(t) + 0,0003x (m^3/min)
<=>
f ’(t) + x/150 * f(t) = 0,005 + 0,0003x
Bestämning av integrerande faktor för att lösa differentialekvationen:
g(x) = x/150
G(x) = x/150 * t
integrerande faktor: e^(x/150 * t)
Multiplicerar båda led med denna.
f ’ e^(x/150 * t) + x/150 * f * e^(x/150 * t) = (0,005 + 0,0003x) * e^(x/150 * t)
<=>
(f * e^(x/150 * t))’ = (0,005 + 0,0003x) * e^(x/150 * t)
<=>
f * e^(x/150 * t) = … = 0,75/x * e^(x/150 * t) + 0,045 * e^(x/150 * t) + C
<=>
f(t) = 0,75/x + 0,045 + C e^(-x/150 * t)
Begynnelsevillkoret f(0) = 0,03/100 * 150 = 0,045 ger
C = 0,045 – 0,75/x – 0,045 = -0,75/x
Ekvationen har alltså nu utseendet
f(t) = 0,75/x + 0,045 -0,75/x * e^(-x/150 * t)
Hur kan jag bestämma x härifrån?
Ett annat villkor skulle kunna vara att
f(480) = 800/1000 000 * 150 = 0,12 om man definierar en dag som 8h = 8 * 60 = 480 min. Det känns dock tveksamt att man själv ska behöva definiera vad en dag är, läraren har också antytt för mig att det inte ska behövas. Har jag möjligtvis helt fel lösningssätt? Vore väldigt tacksam för hjälp av någon skarpsint människa.
/mvh
Skulle behöva lite hjälp med den sista deluppgiften på ett läsetal.
Uppgiften:
Ett klassrum med stängda dörrar och fönster och volym 150 kubikmeter är fyllt med friskluft (dvs. 0,03 volymprocent koldioxid) på morgonen. Under dagen kommer 20 studenter sitta i klassrummet. Varje student producerar (och andas ut) ¼ liter koldioxid per minut. När man satt på ventilationen ersätter den varje minut x kubikmeter av luften i rummet med friskluft. Hur stor ska x (m^3/min) vara för att koldioxidhalten inte ska överstiga 800 ppm under dagen?
Mitt försök till lösning:
inflödet av koldioxid (studenternas utandning) = 20 * ¼ * 10^-3 = 0,005 (m^3/min)
Definition:
f(t) = mängden koldioxid i klassrummet vid tiden t. (m^3)
Eftersom koldioxidhalten i klassrummet är f(t)/150 påstår jag att
utflödet av koldioxid (ventilationen) kan skrivas x(f(t)/150 – 0,0003) = x/150 * f(t) – 0,0003x (m^3/min).
Använder massbalandsprincipen:
f ’(t) = inflöde – utflöde = 0,005 – (x/150 * f(t) – 0,0003x) = 0,005 – x/150 * f(t) + 0,0003x (m^3/min)
<=>
f ’(t) + x/150 * f(t) = 0,005 + 0,0003x
Bestämning av integrerande faktor för att lösa differentialekvationen:
g(x) = x/150
G(x) = x/150 * t
integrerande faktor: e^(x/150 * t)
Multiplicerar båda led med denna.
f ’ e^(x/150 * t) + x/150 * f * e^(x/150 * t) = (0,005 + 0,0003x) * e^(x/150 * t)
<=>
(f * e^(x/150 * t))’ = (0,005 + 0,0003x) * e^(x/150 * t)
<=>
f * e^(x/150 * t) = … = 0,75/x * e^(x/150 * t) + 0,045 * e^(x/150 * t) + C
<=>
f(t) = 0,75/x + 0,045 + C e^(-x/150 * t)
Begynnelsevillkoret f(0) = 0,03/100 * 150 = 0,045 ger
C = 0,045 – 0,75/x – 0,045 = -0,75/x
Ekvationen har alltså nu utseendet
f(t) = 0,75/x + 0,045 -0,75/x * e^(-x/150 * t)
Hur kan jag bestämma x härifrån?
Ett annat villkor skulle kunna vara att
f(480) = 800/1000 000 * 150 = 0,12 om man definierar en dag som 8h = 8 * 60 = 480 min. Det känns dock tveksamt att man själv ska behöva definiera vad en dag är, läraren har också antytt för mig att det inte ska behövas. Har jag möjligtvis helt fel lösningssätt? Vore väldigt tacksam för hjälp av någon skarpsint människa.
/mvh
