Är oändligheten större än oändligheten?

TIllhör Dirac-deltat L²[0, 2π]?

Men det här är väl skillnaden mellan en Schauder-bas och en Hamel-bas. En Hamel-bas tillåter bara ändliga summor, medan en Schauder-bas tillåter oändliga (och kräver därför en topologi). Varje vektorrum har en Hamel-bas och alla dessa baser har sama kardinalitet (vilket är ekvivalent med urvalsaxiomet!). Vet inte om samma gäller för Schauder-baser

Jag förmodar att de flesta som postar i den här tråden är bekanta med distinktionen mellan uppräkningsbarhet och icke-uppräkningsbarhet, samt att vi även fått exempel på hur det är meningsfullt att resonera om uppräkningsbarhet i olika sammanhang. Men det som satte fart på diskussionen var kanske när jag ifrågasatte kopplingen mellan uppräkningsbarhet och oändliga mängders faktiska storlek.

Att A och B skulle vara lika stora om och bara om det finns en bijektion mellan A och B tycker i alla fall jag låter som ett något ihåligt argument. Givet att A och B är två mängder av oändlig storlek så skulle vi i princip kunna koppla varje element i A till något element i B genom en slumpvist skapad (men ändå unik) mappning, och då skulle alla oändliga mängder vara lika stora.

Att bara bijektioner som följer vissa regler skall räknas framstår för mig som ett helt godtyckligt beslut. Vem bestämmer vilka dessa regler skall vara?

Ja, men hur många steg det är är inte klart

Det finns en anledning till att A^B ibland används som notation för mängden av funktioner från B till A...

[2]^R kan vi se som mängden funktioner från R till mängden av 1 och 2 vilket är en delmängd av R...

Kan nämnas att mängden kontinuerliga funktioner från R till R har samma kardinalitet som R. Sådana funktioner bestäms av vad som händer på Q, således R^Q eller om vi så vill R^N. Kan vara en kul övning att hitta en explicit bijektion till R från R^N.

Matematiker, enligt kriterier som om det är användbart för att nå andra resultat eller estetiskt tilltalande. Ta artikeln som BR länkade till med argument för och emot kontinuumhypotesen för hur de resonerar. Du kan säkert bygga upp en helt fungerande matematik utifrån axiomet att alla oändligheter är lika stora.

Frågan är då bara om någon lyckas konstruera oändlgheter som ligger mellan Q och R osv, eller om man bara kommer få fortsätta fundera i abstrakta termer om de finns eller inte.

Frågan om det finns något mellan Q och R är ju oberoende från våra vanliga axiom. Jag vet inte hur det ligger till mellan R och mängden funktioner från R till R. Gissar att det "välkänt" men orkar i alla fall inte tänka eller leta resultat nu

Ja, jag tyckte det var värt att nämna funktionalanalysen, vi har väl ändå inte sett speciellt många exempel på att disktinktionen mellan uppräknelighet och ouppräknelighet har en viktig roll inom matematiken.

Vem som bestämmer?
Var och en matematiker kan förstås välja vilka begrepp och axiomsystem de vill arbeta inom. Det saknas inte matematiker som vill arbeta konstruktivt med begränsade antaganden. Det finns en hel del nyanser härvidlag, hur svaga system som kan anses vara säkra etc. Brouwers intuitionism har sina följare, i modern tappning ofta någon form av typteori, Martin-Löfs t. ex. Sen har vi Bishop med sin konstruktiva variant av analys, sen har vi rena finitister som bara vill ha ändliga mängder, sen har vi ultra-intuitionister etc etc. (Sen är det förstås upp till var och en att försöka få pengar för det man vill göra.) Du verkar luta åt någon form av konstruktivism.
Det hela är lite osymmetriskt, alla dessa falanger av konstruktivism vill underkänna vissa delar av klassisk matematik emedan allt som görs (på korrekt sätt) inom dessa inskränkta varianter naturligtvis är giltigt inom "vanlig" matematik.

Det kanske är det här som är problemet. Faktiskt storlek är nog ett lite knasigt begrepp i sammanhanget. De flesta skulle nog säga att R^3 är större än R^2 och så vidare. I olika specifika situationer så finns det ibland bättre "storleksmått" än kardinalitet. Men om man inte har någon annan struktur än att det är mängder man jämför så verkar det ju inte finnas så mycket annat att göra.

Du kanske tänker att både de naturliga talen, N, och de reella, R, är oändliga många. Och så tar vi ett n i N och parar ihop med ett r i R och så håller vi på. Vad kan gå snett, vi kommer aldrig att få tomt i N-lådan så det är bara att köra på, kanske med någon sofistikerad metod (dubbelloop eller omega-loop kanske) att para ihop elementen?

Vad som går snett är när du kommer med en färdig tilldelning så varje r i R sitter ihop med ett n i N.
Då kan vi genast visa att det finns ett element i R som inte är med.

I vanlig mängdlära så existerar mängder, ibland kan de presenteras via en konstruktion. Men en metod, en algoritm, ett recept på en konstruktion är inte en mängd. En bijektion i mängdläran är en existerande mängd.

Eftersom vi aldrig kommer till en färdig tilldelning i någon bijektion mellan oändliga mängder så bekymrar det mig inte så mycket. Du kommer inte kunna visa mig vilket element i R som saknas lika lite som du kan visa var det finns ett ledigt rum i Hillberts hotell.

En bijektion mellan oändliga mängder existerar om den har en definition som faller dig på läppen, annars inte. I just min högst personliga fantasi existerar en slumpvist genererad mappning lika mycket som den omtalade mappningen mellan N och Q. Det räcker för att skapa en illusion i mitt huvud av att det finns lika många element i N och R, fastän jag rent förnuftsmässigt vet att det är rent trams. I andra huvuden formas illusionen av att det finns lika många element i N och Q, fastän det också bara är trams. Eftersom jag är ensam och ni andra är många så vinner förstås ni andra i sann demokratisk anda.

Nja, ensam är du inte. Det finns gott om framstående matematiker som är skeptiska till vanlig mängdlära.
Slumpvis genererad mappning påminner om Brouwers "free choice sequences". Så här säger Bishop om dem:

In Brouwer’s case there seems to have been a nagging suspicion that unless he personally intervened to prevent it the continuum would turn out to be discrete. He therefore introduced the method of free-choice sequences for constructing the continuum, as a consequence of which the continuum cannot be discrete because it is not well enough defined. This makes mathematics so bizarre it becomes unpalatable to mathematicians, and foredooms the whole of Brouwer’s program. This is a pity, because Brouwer had a remarkable insight into the defects of classical mathematics, and he made a heroic attempt to set things right.

Om jag får tagga in från avbytarbänken ett ögonblick då Hilbertrum kom på tal och jag vill minnas mig ha läst att motargumenten mot olika stora oändligheter utgjordes av argument om entropi, så inbillar jag mig att jag kanske kan gissa hur matematiker bemöter detta. Matematiker verkar ha ett helt annorlunda förhållande till Hilbertrummet än hur det använd inom fysik. I fysik har man ju aldrig egentligen några oändligheter, inte oändligt med dimensioner eller oändligt med tillstånd.

(Utan att gå in på det speciellt djupt så tar man ju inom fysik en egen skapelse från ett parameterrum och stoppar in det i ett projicerat Hilbertrum, eftersom även svaret man får är sin egna skapelse och som i detta fallet tillskrivs representera en sannolikhetsamplitud, vilken också beror och därför också sprider sig på det sättet man definierar den efter.
För att ta ett exempel så bidrar inte fasen till Hamiltonien, trots att den har betydelse inom optiken, för interferens, för QED, EM och med nära garanterad sannolikhet också för den kvantmekaniska vågfunktionen(vilken inte är vad man kanske skulle kunna tro, liksom densamma för EM), men eftersom den inte definieras ha ett förhållande till sannolikhetsamplituden så tillskriver man inte heller fasen till tillståndsrummet.
Så om man sedan letar efter förhållanden mellan sannolikhetsamplituden och annat inom ett Hilbertrum, så kan man också hitta lite vad som helst som både ser ut som om det har ett närmre förhållande än det har då det annars kanske nära saknas, eller som om det fanns ett tydligt direkt förhållande men vilket endast är en mattefluga från usla representationer.
Därutöver så representerar man inte ens det man säger sig representera, utan den ovannämnda fasen kan på det ena stället kallas för "intensitet", och densamma fasen kan också definieras på olika sätt inom olika kontexter och även med olika koordinater, samtidigt som även en perfekt representation av t.ex. fasen ändå inte skulle säga någonting om dess förhållande till annat eftersom ingenting annat heller är vad det är i alla kontexter, inte definieras som sig självt eller någonting. T.ex. kan vinkelfrekvensen hos rotationsmomentum försvinna in i någonting så märkligt som riktningen hos helt andra grejer som påverkar förhållandet med tiden för detta, samtidigt som vinkelfrekvensen beskrivs sakna förhållande med tiden helt och hållet eftersom dess bidrag till momentumet försvinner in i intensiteten, osv... Det är ett spektakel utan gränser. Man skäms. Det vi idag har är någonting helt annat än vad vi kallar det, vilket knappt ens ytligt beskriver naturen.
Nog om det.)

Oändligheter inom tillståndsrum behandlas på samma sätt som GR och även SR är uppbyggt, att man låter element projiceras mot sig själva genom att ta komplexa konjugat på matriserna över diagonalen, för att kunna definiera en ortogonal bas som man förhåller generaliserade koordinater till.
Vektorn hos ett element skapas genom att definiera ett additativt och multiplikativt förhållande hos det egna, i förhållande till ett element hos en annan mängd, bägge i kvadratform för att endast få positiva förhållanden, vilka inte utgör något av elementen i mängden man är intresserad av, t.ex. genom att definiera en mängd som inkluderar mängden man är intresserad av men låta denna omfatta allt upp till den gränsen att man når element som är distinkt skiljda från mängden man är intresserad av, så mäter man elementen hos majoriteten av den mängden man har i sitt förhållande till en gräns man tycker utgörs av oberoende element.
Sen kan man förhålla denna skapade vektorn, från vilken man projicerar sin egna ortogonalitet på och tar normalen av, låter en funktion följa normalen som om de vore parallella längs flera sådana vektorpar, och tada, man har skapat sig ett vektorfält, vilket man skapar en fältutsträckning från genom att t.ex. låta den multiplikativa operationen ske med ett imaginärt tal, för att få en utsträckning i det planet, till vilket förhållanden mellan element kan projiceras.
Sen skapar man ett till sådant vektorfält som är oberoende av det första, förhåller det till normalen med en funktion hos det första och på så vis mäter elementens förändrade projicering på sig självt genom sina respektive förhållanden med generella ortogonala koordinater.
Typ...
Med en enorm skopa reservation för fel då jag inte är matematiker.

Skulle man på detta viset mäta någonting som går mot oändligheten, som kardinalitet mellan olika mängder så skulle entropin endast bero på antalet element.
Att en mängd bara utgörs av "jämna" eller "udda" element är ingenting man mäter, utan det är definierat. Så som man mäter det man mäter så har de i egenskap av att vara i följd ändå all information som krävs för att kunna definiera information som beror på 1 och 0, så "jämna" eller "udda" spelar ingen roll.
Inte heller skulle det spela någon roll att en mängd är en delmängd av en annan mängd om delmängden ändå sker i en följd och vidare i oändlighet. Man kan inte mäta ett förhållande mellan två saker samtidigt som man säger att den ena är en del av den andra, utan man får mäta dem för sig och jämföra dem med varandra.
Att en mängd vore en "delmängd" av en annan mängd är någonting man tillskriver detta något att vara, inte vad det är.

Annars skulle man kunna argumentera för att bijektionen mellan "delmängden" "udda tal" av "alla tal", också innebär att också "alla tal" är en delmängd av "udda tal", eftersom all information för att definiera detsamma som den andra mängden ryms inom bägge, bara genom deras natur av att ske i en följd.

Jag tror som WbZV. Oändligheter är ingen grej. Pi är inte mer oändligt än halva pi, och oändligt är ingen grej utan en kontinuerlig funktion.

Med ett extra förtydligande om att jag inte kan det här.