Väldigt märkligt logratimekvation - kan ni lösa?

Hej,

Uppgiften som jag kört fast på lyder som följer:

ln (2X) * ln (3X) = ln (4X)

Det här är ingen enkel uppgift, så redovisa gärna från början vilken metod ni använder er av för att lösa den.

Tack på förhand!

Bara för att vara på den säkra sidan:

Är du helt säker på att du inte menar + där du skriver * ?

Jag är helt säker. Det är det som är den kluriga kärnan i uppgiften.

Facit ger en lång lösning.

Skriv om varje uttryck ln(ne^a)=ln(n)+ln(e^a) = ln(n)+a

=> [ln(2)+a][ln(3)+a]=ln(4)+a

Gör om till en andragradsfunktion med nollsumma

=> a^2+a[ln(2)+ln(3)-1]+ln(2)ln(3)-ln(4) = 0
= a^2+aln(6/e)+ln(1/2)ln(3) = 0

Lös med pq-formeln och du får två svar a_1 och a_2 som jag tyvärr inte orkar skriva ut då jag ej använder LaTeX.

Svaret på uppgiften kommer då bli:

x_1 = e^a_1
x_2 = e^a_2

Det finns säkert en snyggare lösning men denna funkar

ln(2x) = ln2 + lnx, etc, så

ln (2x)*ln(3x) - ln(4x) = (ln2 + lnx)(ln3 + lnx) - ln4 - lnx =

ln2 * ln3 + (ln2 + ln3)lnx + ln²x - ln(2*2) - lnx = /sätt y = lnx/ =

ln2*ln3 + (ln6)y + y² - 2ln2 - lnx.

Detta skall vara = 0. Lös alltså först andragradsekvationen

y² + (ln6 - 1)y + ln2*(ln3 - 2) = 0

och bestäm därefter x ur sambandet y = lnx.

Bara att go pro så får du step by step:
http://www.wolframalpha.com/input/?i...%3Dln+%284x%29

ln (2X) * ln (3X) = ln (4X)

(ln 2 + ln X) (ln 3 + ln X) = ln 4 + ln X
(ln X)^2 + (ln 2 + ln 3) ln X + (ln 2)(ln 3) = ln 4 + ln X
(ln X)^2 + (ln 2 + ln 3 - 1) ln X + ((ln 2)(ln 3) - ln 4) = 0
Detta är en andragradsekvation i ln X, så i princip är det bara att lösa den som en sådan.
Vi får då ln X = (grunka), varför X = e^(grunka).