Invers funktion

f(x)=3-e^(2x)+e^x
Behöver hjälp med början. Vill på något sätt bryta ut e^x men får inte till det riktigt. Ty på förhand

Börja med att sätta t = e^x. Ekvationen y = f(x) blir då y = 3 - t^2 + t. Lös ut t. Du får då t = u(y), där u(y) är något uttryck. Du har alltså e^x = u(y) vilket ger x = ln(u(y)).

Utnyttja att e²ˣ = (eˣ)² och substituera t = eˣ så får du en andragradsekvation i t. Kvadratkompletterar du denna så kan du sedan sätta tillbaka eˣ istället för t och då kan du bryta ut eˣ och därefter få fram inversen till funktionen.

Jag får då
t=3/2+Roten ur (21/4-y)
t=3/2-rotenur (21/4-y)
Hur vet jag sedan vilket t som är korrekt? Df är givet, glömde skriva det x ska vara mindre eller lika med 0. Ska man pröva x värden eftersom vi vet att e^x>0?

Den andra lösningen har negativa värden så det är den första som är rätt. Sedan så behöver du få ut x som funktion av y, så sätt in eˣ istället för t och sedan beräknar du ln av båda sidor.

Yes, är med på det där sista, var bara början som jag hade problem med. Facit säger dock att andra lösningen är den rätta alltså ln(3/2-rotenur(21/4-y))

Det kan nog stämma, jag tänkte inte igenom det noggrant. Du kan plotta funktionen och den uträknade inversen på WolframAlpha och se själv.