Bevis sökes: Produkten av positiva tal är...?

Lär dig skriva korrekta härledningar som inte slutar med något trivialt!

Vad menar du, på vilket sätt är det trivialt att härleda den likhet som TS frågar efter?

Eller är det notationen/uppställningen som du tar illa upp av?

Man kan definiera ℤ som mängden av alla ekvivalensklasser, [(a,b)], under ekvivalensrelationen som definieras av (a,b) ≡ (c,d) ⇔ a+d = b+c. a,b,c,d ∈ ℕ.

Sen väljer man att talet 5 ≡ (5,0) = (6,1) = (7,2) = ... och -3 ≡ (0,3) = (7,10) = ... osv, och allting är unikt identifierat.

Multiplikation defineras som n·m = (a,b) · (c,d) = (ac + bd, ad + bc).
Exempel: 5 · -3 = (6·7 + 1·10, 6·10 + 7·1) = (52, 67) = (0, 15) = -15.

Här är det ganska enkelt att se att n = (a,b) > 0 ⇔ a > b (något som är väldefinierat för a,b ∈ ℕ). Vidare kan vi visa att n,m > 0 ⇒ nm > 0:
n = (a,b) > 0 ⇔ a>b,
m = (c,d) > 0 ⇔ c>d,
nm = (a,b)(c,d) = (ac+bd, ad+bc).

Frågan är då om ac+bd > ad+bc. Låt a = b+K₁, c = d+K₂:
(b+K₁)(d+K₂) + bd > (b+K₁)d + b(d+K₂) ⇔
2bd + bK₂ + dK₁ + K₁K₂ > 2bd + dK₁ + bK₂ ⇔
{subtrahera (2bd+bK₂+dK₁)}
K₁K₂ > 0.

Eftersom a > b och c > d gäller K₁, K₂ > 0 och således K₁K₂ > 0. QED.

Det där är vad jag kallar en bevis-orgasm....hnngg...

Ok så ekvivalensklasserna används för att introducera negativa tal. Det verkar vara ett rätt fint sätt att göra det på Men i alla fall känns just det här argumentet rätt konstigt, du använder naturliga tal med multiplikation och olikheter som redan etablerat maskineri det är en olikhet för dessa som TS är intresserad av.

:D
Det håller jag med om!
Jaså, det förstod jag inte riktigt. Jag trodde TS undrade för tal rent generellt, vilket väl oftast brukar betyda reella talen. Så jag tänkte att jag kunde väl bidra med en start; heltalen är nog det största steget att ta. Rationella följer nästan av sig själv och reella kräver som sagt lite koll på Cauchy-sekvenser men inte mycket mer än så.

Hur som helst, jag utgick från naturliga tal eftersom jag tänkte att många redan har sett definitionerna för dom. Det är mindre krångligt än heltalen, tycker jag åtminstone.

Men vi kan köra med dom också; jag utgår från naturliga talen konstruerade med Peanos axiom.

Då definierar vi addition och multiplikation så här, med n,m ∈ ℕ:
+ är den operator som uppfyller m+0 = m, m+S(n) = S(m+n),
· är den operator som uppfyller m·0 = 0, m·n = (m · r) + m där r definieras enligt n=r+1.

Det är kanske lite krångligt att se att det här funkar, men det gör det.
Exempel: 7+1 = 7+S(0) = S(7+0) = 8.
Exempel: 3·2 = (3·1) + 3 = (3·0 + 3) + 3 = 6.

Vad betyder n>0? Mja, vilket tal som helst som inte är 0 är väl en bra definition, när vi är i ℕ. Vi definierar ordning lite mer generellt i vilket fall: n > m ⇔ n = m + k för något k≠0 ∈ ℕ, något som är likvärdigt med att n = S(S(S(S...(m))) för k användningar av successorfunktionen.

Är nm > 0 om n,m > 0? Jodå:
n, m > 0 ⇒ nm ≥ (n·r) + n med r definerat enligt m = r+1. QED.

Ok, man kanske borde argumentera om att · producerar naturliga tal för att vara helt övertygad, men det följer också från definitionen. Som alla slöa professorer hade skrivit: This is left as an exercise for the reader. Om någon är misstänksam på ≥ så är den definierad precis som >, förutom att k inte behöver vara nollskild.

Jag ska inte lägga ord i TS mun Men ett specialfall av positivt tal gånger ett positivt tal är ju positiva heltal. Har lite bråttom nu så läser resten av inlägget sedan.

Ditt resonemang är lite av ett implicit cirkelbevis. För att kunna använda fallet med multiplikation av negativa tal så brukar man bygga det på multiplikation av positiva tal och det var just detta som TS ville ha visat. Du har med andra ord använt det du försöker bevisa i "beviset", i form av att det mer komplicerade fallet bygger på trivialfallet som du visar utfrån just det mer komplicerade fallet.

Det hade säkerligen gått att definiera multiplikation på ett sätt så att det du utgår ifrån blir det mest fundamentala, men då kommer andra (som vi vanligen uppfattar det enklare) samband att behöva härledas från det på ett betydligt mer rigoröst sätt. Att något går att göra betyder inte att det är lämpligt att göra det och bevisgången skulle knappast bli enklare än de mycket snygga bevis som postats av matteyas i inläggen ovan.

Är detta ett skämt?
Det följer ju av egenskaperna för en ring!

Det är uppställningen som är dålig.

Jag kan bevisa att 3 = 5 genom en sådan uppställning:
3 = 5
0 * 3 = 0 * 5
0 = 0
Detta är ju sant. Alltså är 3 = 5 sant.

Följer det av egenskaperna för en ring att produkten av två positiva tal är positiv?

Nej det kan du givetvis inte, men jo, det var fel av mig att ha med högerledet.

Dvs, om du kan bevisa -1*-1=1, så kan du ju härleda;

(-a)*(-b) =
(-1*a)*(-1*b) =
-1*a*-1*b =
-1*-1*a*b =
1*a*b =
a*b