Bevis sökes: Produkten av positiva tal är...?

Jag insåg ju också att jag inte ens vet enda enda definition för ett positivt tal. Jag har mer behandlat det som ett primitivt begrepp*. Men behöver vi en definition? Kan någon i sådana fall ge en sådan?


* http://www.math.chalmers.se/Math/Gru...mageomht03.pdf

Reella tal kan definieras som Cauchy-sekvenser av rationella tal, och produkten mellan två reella tal kan definieras som kartesiska produkten mellan de två sekvenserna. Så om du tycker att rationell mult. kan uttryckas som summor så kan reell mult. också det!
Naturliga tal: Alla tal som inte är noll.

Heltalen: Alla tal [(a,b)] där a>b. a,b är naturliga och a>b innebär att b=a+c, c naturligt.

Rationella: Quotient field av heltalen, så det ärver positivitet därifrån. Ok, jag orkade inte efterforska den här så hårt... :þ

Reella: Cauchy-sekvenser av rationella tal, så om det finns något N så att alla x_n > 0 för
n > N så kan vi kalla x = [{x_n}] positivt.

Eh, kanske inte kartesisk produkt antar jag. Elementvis produkt snarare, typ som dot product fast utan summering. Något i stil med transponat(v) * u om v och u är vektorer.

Namnet på produkten du letar efter är Hadamard produkt, i alla fall är det vad den kallas för matriser.

Ändring: Följande stämmer inte
Ändring2: Eller gör det kanske det ändå

Men om vi ser sekvenserna som mängder (eller snarare kanske multimängder) kan vi se det som hyfsat standard multiplikation A*B={a*b|a liger i A och b ligger i B}, hur vi än ordnar elementen för att göra mängden till en sekvens så kommer det bli en Cauchy-sekvens som konvergerar till det den ska. Och det här är modulo en kopp kaffe som jag känner att jag behöver.

Intressant produkt, och jo, en sån funkar i det här fallet. :)
Huh, kul egenskap. Om en sekvens är Cauchy så är alla permutationer av den också Cauchy, eller? ^^

Som du nämnde tidigare så är a>=0 en bra idé, men då kan man fråga sig vad > betyder.

Som nämnts tidigare finns det något som kallas ordnad kropp som har kropp axiomen tillsammans med några axiom för en relation >. Det "tråkiga" med det här konceptet är att ett av axiomen är att om a>=0 och b>=0 så gäller ab>=0. Men i alla fall man kan visa att de reella talen och de rationella talen är ordnade kroppar.

Som också nämnts i tråden så kan man definiera positivitet för heltal i termer av naturliga tal (som alla är positiva) och sedan definiera positivitet för rationella tal i termer av heltal och sedan definiera positivitet för reella tal i termer av rationella tal. Exempelvis:

Naturliga tal är positiva.

Heltal är positiva om de är naturliga.

Ett rationellt tal (x) är positivt om en summa av bara det talet (x+x+...+x) är ett positivt heltal.

Ett reellt tal är positivt om det är gränsvärdet av en sekvens av positiva rationella tal.

Det finns flera varianter av detta.

Vad jag tror exempelvis manne1973 är ute efter i sina frågor nu på slutet är någon typ av övergripande definition som skulle passa för alla de här talen utan att göra det stegvis. Det är en intressant frågeställning.

Ja det var det jag trodde för ett tag sedan. Låt oss tänka:

Vi vill visa att för varje e>0 så finns det ett N så att om n,m>N så gäller att |x_n-x_m|<e. Där x_1,x_2,... är vår permuterade sekvens. Om M är motsvarande N för den inte permuterade sekvensen så borde det väll räcka att ta N som det största tal där någon av de M första talen hamnar efter permitteringen.

fast produkt saken följer inte behövde kaffet i alla fall

Ändring: Humm, eller så kanske det gör det i alla fall. Haha, jag lämnar det till någon annan att slutföra beviset i i så fall. Har gjort bort mig tillräckligt i den här frågan just nu i alla fall

Det fungerar tyvärr inte. Ber om ursäkt för den tillfälliga sinnesförvirringen.

Ändring: För att illustrera hur förvirrat det är så kommer det bara fungera när en av sekvenserna är konstant

Det känns intutivt som att permutationerna är Cauchy, men jag vet inte om det du tar upp här räcker som bevis? Kanske gör det. ^^

Fast nja, antag att det är nån lustig funktion som sin(x) / x som genererar sekvensen, x = n/1000 med n naturligt. Då kan det väl vara så att om M=5 för ett visst e så kan vi göra vår permutation genom att ta den vanliga sekvensen och byta plats på x_6 och x_600. Det är väl inte givet att |x_6 - x_601| < e?

Jag tror ändå permuterade sekvenser är Cauchy, men det kanske inte är sådär enkelt att visa tänker jag.
Haha, nice. :)

Jo argumentet jag tänkte mig fungerar. Låt x_1,x_2,.... vara original sekvensen. För ett given e>0 vet vi att om n,m>M så gäller att |x_n-x_m|<e. För en given permutation kan vi välja N så att alla n<M hamnar lägre än N efter permutationen. N skulle i ditt exempel alltså vara minst 600 eftersom 6 hamnar på position 600.

Enklare argument kanske är följande, en cauchy sekvens (i alla fall för reella tal) som mängd har precis en anhopningspunkt. Om vi ordnar mängden på något visst sätt så kommer vi tillslut ändå alltid hamna godtyckligt nära punkten eftersom bara ett ändligt antal av punkterna ligger längre bort. Det blir lite informellt men epsilon delta saker är inte alltid så upplysande.

Oj, jag tänkte fel. Jag fick för mig att Cauchy är samma sak som att |x_n - x_(n+1)| < e, men det stämmer ju inte. Blandade ihop det med att {x_n} Cauchy ⇒ |x_n - x_(n+1)| → 0 om n → ∞. Då funkar ditt argument. ^^