Jämför supM & infM

Hej!

Vad kan man säga om en mängd M om man vet att supM=infM?

Borde det inte vara att mängden M består enbart av en enda element sådant att elementet kan både vara uppåt begränsad och nedåt begränsad? i så fall kan denna mängd vara en funktion f som är konstant eller en talföljd där alla talföljder har samma värde. Stämmer detta eller är jag helt ute och cyklar?

Du har rätt i att M måste bestå av endast ett element. Sedan börjar du cykla iväg.

Men hur kan man då motivera att mängden M måste bestå av endast ett element?

Låt x vara ett element i M. Ur definitionerna av inf och sup gäller att inf(M) ≤ x ≤ sup(M). Eftersom inf(M) = sup(M) gäller x = inf(M) = sup(M).

Låt även y vara ett element i M. Enligt ovan gäller y = inf(M) = sup(M). Men eftersom x = inf(M) = sup(M) får vi att y = x. Alltså finns högst ett element i M.

M kan inte vara tom eftersom då skulle gälla sup(M) = -∞ och inf(M) = +∞, dvs sup(M) ≠ inf(M).
Alltså finns minst ett element i M.

Sålunda finns precis ett element i M.

Tack så jätte mycket