Endimensionell analys - faktorisera polynom (behöver hjälp)

Hej,

Har kört fast på ett par matteuppgifter där man ska faktorisera polynom. Jag är osäker på hur man löser uppgiften eftersom jag inte har någon lämplig metod förutom att testa mig fram.

Så här ser polynomet ut:

p(x) = x^3 + 1

Uppgiften är att man ska faktorisera uttrycket. Om någon skulle kunna presentera en metod och visa steg för steg hur ni gör, så skulle jag vara mycket tacksam.

För att förtydliga, så letar jag efter en enkel och välkänd algoritm som kan användas för att faktorisera polynom. Jag har inte kunnat hitta den, men om någon känner till den så skriv gärna.

Ett annat polynom ser ut så här:

p(x) = x^6 - 64

Den lämpliga metoden är att först lösa ekvationen p(x) = x^3 + 1 = 0.

Det är en tredjegradsekvation har alltså tre (ej nödvändigtvis unika) rötter.

Det finns en algebraisk metod att lösa tredjegradsekvationer men om du inte orkar googla fram den så kan du ju gissa. -1, 0 och 1 brukar vara bra gissningar om uppgiftsskaparen inte är sadistisk.

När du har hittat rötterna har du direkt faktoriseringen: (x-p0)(x-p1)(x-p2) där p0...p2 är rötterna.

Med lite kunskap så ser man att x^3+1=0 har lösningarna x=(-1) och två komplexa lösningar. (dessa är vi dock ej intresserade av).

Vi kan då skriva polynomet som (x+1)(ax^2+bx+c) som ska bli x^3+1.
Vi skriver (ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c). Vi får ekvationssytemet:

a=1
(a+b)=0
c=1

Alltså a=1, b=-1 och c=1.

x^3+1 kan alltså faktoriseras som (x+1)(x^2-x+1).


För x^6=64 får du två reella lösningar och fyra komplexa. (detta eftersom vi kommer få +/- något tal)

Vi ser att 2^6 och (-2)^6 är lösningar, ty 2^6=64.

Alltså har vi (x-2)(x+2)(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e) som ska bli x^6-64.

Hmm en uppgift, undrar var den bör ligga?

Fysik, matematik och teknologi --> Naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator

När du har hittat en lösning kan du dividera hela uttrycket med dess "nollfaktor", med hjälp av polynomdivision. En uppenbar lösning är -1. Dividera alltså hela uttrycket med (x+1). Det traditionella sättet är att ställa upp divisionen i "trappan". Jag antar att även modernare divisionuppställningar som liggande stolen fungerar, men jag kan inte någon sådan.

Börja så här: p(x) = x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = ...