Varför - och - blir plus vid multiplikation/division.

Föreställ er en bil som står mitt på en raksträcka. Det finns ett mål framför och ett mål bakom bilen (det är lika långt till båda). Vi har negativ sträcka bakom bilen och positiv sträcka framför bilen. Med hjälp av en filmkamera kan vi simulera negativ tid genom att köra filmen baklänges. Först filmar vi bilen när den kör framåt och sedan filmar vi när bilen kör bakåt (bilen backar). Den startar i mitten på vägen i båda fallen. Med formeln v=s/t får vi hastigheten (v=hastigheten, s=sträcka, t=tid). Tänk er att vi har en hastighetsmätare på filmdisplayen när vi visar filmerna. Den här hastighetsmätaren kan visa negativ hastighet då bilen backar. I den första filmen kör bilen framåt. Vi har positiv sträcka och positiv tid. Hastighetsmätaren visar ett positivt värde. Nu kör vi filmen baklänges (det ser ut som bilen backar). Då har vi positiv sträcka och negativ tid. Hastighetsmätaren visar ett negativt värde. Nu kör vi den andra filmen. Då backar bilen. Vi har negativ sträcka och positiv tid. Hastighetsmätaren visar ett negativt värde. Sen kör vi filmen baklänges (bilen ser ut att åka framåt). Då får vi negativ sträcka och negativ tid. Hastighetsmätaren visar ett positivt värde.

Vad är frågan?

Hastighet är en vektor. Den har storlek och riktning om det nu är det du är ute efter?

Och om du klipper ut en enstaka ruta ur filmen, vad visar hastighetsmätaren då?

Hastighet har storlek. OK! Men riktning? Kan hastighet ha olika grad av riktning? Hur ser en sådan beskrivning ut?

I vardagligt tal används hastighet synonymt med fart, men inom fysiken är de inte samma sak.

Hastigheten är lägesförändring per tidsenhet och eftersom rörelser i olika riktning leder till olika lägen så behövs det även en riktnig som talar om åt vilket håll ändringen sker. Därför har hastighet både belopp och riktning.

Fart är absolutbeloppet av hastigheten, och talar bara om hur stor lägesförändringen är, inte åt vilket håll ändringen sker.


Utöver riktning behövs även ett koordinatsystem för att beskriva hastighet. Man måste ha en referens för vad som är positiv och negativ riktning. Enklast att förstå om man inte tittat på koordinater inom matematiken innan är rätvinkliga koordinatsystem.
I en dimension (endast x-axel, en tallinje) så kan man beskriva rörelser uppåt eller neråt längs tallinjen.

I två dimensioner (x och y-axel) så kan man beskriva rörelsen som uppdelad i en x-komponent och en y-komponent. Då blir t.ex rörelsen från (0,0) till (3,4) en rörelse 3 steg i x-led och 4 steg i y-led.
Om du ritar upp ett koordinatsystem på skärmen (eller sätter upp ett papper på väggen) och anger en hastighet på 3m/s i x-led och 4m/s i y-led så kommer den att flytta dig 5m/s snett "uppåt" åt höger i koordinatsystemet.
En hastighet på 3m/s i x-led och -4m/s i y-led kommer istället att flytta dig 5m snett neråt åt höger.

På samma sätt fungerar det i tre dimensioner, med x-, y-, och z-axlar i koordinatsystemet och dela upp rörelsen i x-led, y-led och z-led för att beskriva den.

Hastighetens riktning är ju inte verklig. Den existerar bara i teorin. Hastighet är ett resultat av en påverkan av en eller flera krafter. Krafterna har riktning som existerar i verkligheten (och naturligtvis även storlek). Matematiskt går det bra att räkna på hastigheten med hjälp av vektorer. Men jag kan ju ha fel förstås.

Hastighet är inte ett resultat av en kraft. Ett system utan verkan av yttre krafter kan mycket väl ha en hastighet.
däremot ger yttre krafter upphov till ändring av hastighet, dvs accelleration.

Givetvis är hastighet en vektor och den har en riktning i ett givet referenssystem.

Ja, du har säkert rätt. Nu tänker jag mig följande scenario: En rymdraket som ska ut på en lång resa startar från jorden. Vi tänker oss att den ska vidare vinkelrät mot jordens bana runt solen ut i rymden. Den ökar farten hela tiden med sin motor där bak för att uppnå den tänkta hastigheten. Samtidigt har rymdraketen en hastighet i sidled på grund av jordens hastighet runt solen. Vi säger att rymdraketen har en bromsmotor som är riktad mot rörelsen i sidled. Vi stänger av motorn där bak och sätter istället på bromsmotorn på sidan. Då borde alltså hastigheten framåt öka. Är det så?

Det följer direkt från definitionen, men det har länge varit uppenbart att folk inte köper det här, trots att det är det mest fundamentala svaret. Nåväl, här är ett intuitivt verktyg:

De flesta håller med om att x/x = 1 (om x inte är 0), (1). Vi vet även att operationerna
a*b*(1/c) kan utföras i vilken ordning som helst med samma resultat, (2). 5*4*(1/2) = 20/2 = 5*(4/2) = (5/2)*4. Samt, alla är med på att det inte är nåt konstigt om bara ett tal har minustecken vid en operation: x / -y = -(x/y) och x * -y = -(xy), (3).

Då kikar vi på följande uttryck: -a*-b*(1/-a).

Vi kan evaluera det så här: (-a*(1/-a))*-b = (-a/-a)*-b = 1*-b, eftersom -a/-a = 1 enligt (1).

Så vi har att -a*-b*(1/-a) = -b, nu gör vi det i en annan ordning men får samma resultat enligt (2): (-a*-b)*(1/-a) = -b.

Vad måste den första parentesen vara ekvivalent med för att uttrycket ska stämma? Det enda som funkar är ab, eftersom ab/-a = -(ab/a) enligt (3). Alltså måste -a*-b = ab.

Ett annat verktyg kan vara att se -1*x som en teckenbytaroperation, något som kan rättfärdigas för den intuitive tänkaren med att -1*x är -x. -1*whatever byter alltså tecken på whatever. Så -a*-b = -1*a*-b = a*(-1*-b) = {teckenbyte pga -1*-b} = a*b.

Just den biten tror jag i många fall beror på att man ofta kommit en bra bit upp på universitetsnivå i matematik innan man kikar på definitionen av multiplikation. Innan dess lär man sig regeln för hur man skall göra, men inget om varför. I bästa fall får man ett övertygande exempel, men ingen uttömmande förklaring.

Samma gäller för fysik. Man har oftast inte läst tillräckligt med matematik för att förstå på riktigt att man kan beskriva samma system med olika koordinatsystem beroende på vilka beräkningar man vill göra enklare, när man första gången stöter på vektorstorheter. I vissa fall är det också så att man använder fysiken för att introducera vektorer innan man når dit i matematiken och det är inte alltid så lätt att köpa konceptet vid en första anblick.

Jag tror det gäller generellt, att man inte introduceras till betydelsen av axiom, definitioner och satser, inte före universitetsnivå åtminstone. Ändå är det det som utgör matematik. Vi är lite utanför topic däremot. ^^