Tankar om att komma runt ett grenproblem

Anta att den komplexa logaritmen är definierad på grenen (-π,π). Vi kan då inte logaritmera talet -2. Ett sätt är att använda den vanliga logaritmen och utelämna minustecknet enligt

-2=-e^ln(2)

Men det kanske inte kan kallas en lösning på problemet. Jag har ju inte lyckats logaritmera -2.

En gren ska täcka hela det komplexa talplanet. Det gör inte (-π, π). Ta i stället (-π,π]. Därmed kan du logaritmera negativa tal: ln(-2) = ln(2) + i π.


Sannerligen inte.

Ibland väljer man grenen (-π, π) för att komplexa logaritmen ska vara både deriverbar och kontinuerlig. Varför vet jag inte?

Grenen (-π,π] är varken kontinuerlig eller deriverbar.

Tycker nog att gränsvärdet här:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Principalgren

är lite klurigt. Kanske går att bevisa med annat gränsvärde?

Det är väl trevligt med funktioner som är deriverbara och kontinuerliga överallt?
Men tar man inte med strålen z < 0 så kan man som du redan konstaterat inte ta logaritmen av negativa tal.


Det är en generell egenskap hos fullständiga grenar.


Det är bara av formella behov som gränsvärde används. Matematiskt finns formellt inget bättre sätt att säga "värdet precis ovanför snittet inne vid origo" samt "värdet precis nedanför snittet inne vid origo".

Jag försöker komma på något enkelt räkneexempel eller uppgift där man kan visa att det är praktiskt att ha en kontinuerlig och deriverbar logaritm. Kan någon hjälpa mig?