Bevis för endast en reell rot i komplex analys

Låt b<0 och låt a>0. Hur bevisar man att uttrycket b^(1/a) bara har en reell rot om och endast om a är ett udda heltal?

Det stämmer inte. Exempelvis har (-2)^(1/3.5) en reell rot.

Okej, hur borde jag då ha formulerat mig?

Det beror ju helt på vad det är du vill ha sagt.



Jag gissar att du vill säga att a ska vara ett heltal.

0,28571428571428571428571428571429? Jag hajar inte, står det "minus två upphöjt till ett genom treochenhalv"?

Givet att a är ett heltal kan vi lätt se att det är omöjligt med jämna tal. En rot r till b^(1/a) där a=2k är jämnt måste ha egenskapen (r²)^k=b. Om r är reellt kommer r² vara positivt och ett positivt tal upphöjt till ett heltal kan aldrig ge ett negativt resultat.

(Detta är inte ett fullständigt bevis för din tes. Det återstår att visa att det alltid finns en reell rot om a är udda, men vi har klarat av biten att visa att det inte kan finnas om a är jämnt.)

Ja. Vad är det som är konstigt?

Om a är udda, dvs a=2k+1 så ska en rot r uppfylla r*(r²)^k. Denna rot kan uttryckas som r=-(-b)^(1/a). b är ett negativt tal, så -b är naturligtvis positivt. Ett positivt tal upphöjt till ett positivt bråk har alltid en positiv reell rot. Behöver det sistnämnda bevisas?

Jag undrar om det är möjligt att kalla 3.5 för ett udda tal trots att det är ett decimaltal, för jag vill att beviset även ska täcka upp decimaltal?

Jämn och udda är egenskaper enbart hela tal har, så nej du kan inte kalla 3.5 för udda.



Varför undrar du förresten?

Du gav som exempel att (-2)^(1/3.5) en reell rot.

Så kanske borde min ursprungliga frågeställning vara:

Låt b<0 och låt a>0. För vilka värden på a har uttrycket b^(1/a) exakt en reell rot?

Så kan man formulera det. Tyvärr är den frågan rätt mycket svårare att svara på.

Om man multiplicerar 3.5 med 10 så får man 35 som är ett udda tal. Jag tror att det har med den saken att göra.