Induktion olikhet

Hej gott folk, sitter dåligt förberedd på en sommarkurs i matematik och skulle behöva någon som hjälper mig i rätt riktning.

För vilka n>=1 gäller olikheten 3n!>3^n?

Det mest liknande exempel jag kan hitta någon som innefattar fakultet.

Först kontrollerar jag för vilket värde olikheten blir sann vid;

n=4 ger 3*4!=72, 3^4=81
n=5 ger 3*5!=360, 3^5=243

Vi antar att olikheten gäller för n>=5.

Ibas: n=5 ger att 360>243 vilket är sant.

Ia: Antag att 3k!>3^k för k<=5

Is: Visa att 3(k+1)!>3^(k+1)

VL=3(k+1)!=3*(k+1)*k! -> Ia -> 3*k!*(k+1)>3^(k+1)*3^k

Det är här det tar stopp. Hur ska jag kunna få ut någon relevant information av detta? Finns det någon fördel med att dela allt med 3? Isf ger det följande högerled;

k!*(k+1)>3^(2k) men hur bevisar jag matematiskt att denna olikhet är sann för alla k>=5?

Högst oklart vad du gör och på vilket sätt du använder induktionsantagandet.

Du ska visa 3(k+1)! > 3^(k+1) och har 3(k+1)! = (k+1)3k! > (k+1)3^k enligt antagandet. Nu måste du bara visa att denna är > 3^(k+1) och beviset är klart.

Du är på god väg men har halkat lite. Rättar:

Ibas: Sant för n=5 där man får 360>243

Ia: Antag att 3n!>3^n för något n > 5.

Is: Visa att det då följer att 3(n+1)!>3^(n+1)

VL = 3(n+1)! = (n+1)*3n!
Men Ia säger att n+1 > 6 > 3, samt att 3n! > 3^n. Alltså får vi
3(n+1)! = (n+1)*3n! > 3 * 3^n = 3^(n+1) = HL

Alltså är olikheten sann för alla n >= 5

Varför antar du något som uppenbarligen inte är sant? Det är bara sant för k = 5, inte för k = 1, 2, 3, 4.

Tack för hjälpen gott folk!

Manne: Hoppas för min egen skull att det var en typo..