Kalkylering inom Gausseliminering (Cont. 2)

Från denna länk (https://people.kth.se/~kpetters/avsnitt1.pdf) om Gausseliminering på sida 4.

"Vi adderar nu lämpliga multiplar av den andra raden (ekvationen)
till ekvation 1 och 3 för att eliminera y från dessa ekvationer,"


x + 6y − 2z = 27
y + z = 4
−y = −3


x −8z = 3
y + z = 4
z = 1



Jag förstår inte och mina frågor är:


1.
Hur ser kalkyleringen ut från "x + 6y − 2z = 27" till "x −8z = 3"?
Hur kan det bli så?

2.
Hur ser kalkyleringen ut från "−y = −3" till "z = 1"?
Hur kan det bli så?


Tack på förhand!

// Fullmetalboy

1. Man utnyttjar att y + z = 4 enligt mittenekvationen och multiplicerar detta med -6 så man får -6y -6z = -24. Sedan adderar man denna nya ekvation till den första (vänsterled + vänsterled = högerled + högerled) och då får man x + 6y − 2z − 6y − 6z = 27 − 24 eller alltså x − 8z = 3

2. Motsvarande som ovan, fast du stoppar in −y = −3 i y + z = 4.

Du bör dessutom posta dina frågor om gausseliminering i en och samma tråd istället för att starta en ny tråd för varje fråga. Förslagsvis håller du dig till den första tråden du postade, dvs den här.

Tack så mycket för din hjälp!

Jag har några följdfrågor.


1.
" y + z = 4 enligt mittenekvationen och multiplicerar detta med -6 så man får -6y -6z = -24."

Går det att få mer beskrivning om hur du gör tillvägagångssätt med hjälp av kalkylering? Just nu så känns det att det är stort steg emellan.

Jag tror att jag behöver mer beskrivning om mittekvation så att jag vet att jag hamnar på rätt spår.


2.
Hur kan det bli "-6" och vart kommer den ifrån?







Jag är medveten om det och om man har många och olika frågor i samma ämne så blir det väldigt ostrukturerat. Jag har tidigare erfarenheter om det och det leder till att man blir svårt för andra slutanvändarna att få en röd tråd.

Jag förenklar lite så att vi endast har två ekvationer och två obekanta.

Om du har två ekvationer:

6y - 2z = 16 och
y + z = 4

Så vill du "bli av med y" i den första ekvationen för att kunna beräkna z.
Är du med på att det verkar vara en bra strategi?

Kunskap 1
=======
Du kan alltid lägga till något till en ekvation så länge man gör lika på båda sidorna.

Till exempel så kan du skriva om den första ekvationen som:

6y - 2z + 123 = 16 + 123

Är du med på det? Annars måste vi gå igenom det noggrannare.

Eftersom du från den andra ekvationen vet att y + z = 4 så kan du lägga till y+z till vänstra ledet och 4 till högra ledet på den första ekvationen:

6y - 2z + (y+z) = 16 + 4
7y - z = 20

Är du med på det? Annars måste vi gå igenom det noggrannare.

Kunskap 2
=======
Du kan alltid multiplicera en ekvation med något så länge man gör lika på båda sidorna.

Till exempel så kan du skriva om den andra ekvationen som:

(y+z) * 10 = 4 * 10
10y + 10z = 40

Är du med på det? Annars måste vi gå igenom det noggrannare.

Tillämpning av kunskap 1 och kunskap 2
=========================
Eftersom du vet att 10y + 10z = 40 så kan du lägga till 10y + 10z till vänstra sidan och 4 till högra sidan av den första ekvationen

6y - 2z + (10y+10z) = 16 + 40

16y + 8z = 56

Är du med på det? Annars måste vi gå igenom det noggrannare.

Kunskap 3
=======
Nu blev ju inte den första ekvationen "av med y" som du vill så att addera den andra ekvationen multiplicerad med 10 till första ekvationen var ingen bra strategi.

Så frågan är: Vad ska man multiplicera den andra ekvationen med för att den ska kunna adderas till den första ekvationen och resultatet blir att y "försvinner"?

Du kan börja med att multiplicera den andra ekvationen med k, där k är det tal du söker.

(y+z) * k = 4 * k
k*y + k*z = 4*k

Om du inte är med på det, gå tillbaka till avsnittet "Kunskap 2"

Addera nu detta till ekvation 1

6y - 2z + (k*y + k*z) = 16+(4*k)
(6+k)y + (k-2)z = 16+4k

Om du inte är med på det, gå tillbaka till avsnittet "Kunskap 1"

Nu ser du kanske vilket k du måste välja för att "y ska försvinna". Just det om k=-6 så får du

(6+-6)y + (-6-2)z = 16+(4*-6)
0y -8z = -8
-8z = -8

Detta är svaret på alla dina frågor om "Var kommer -6 ifrån, var kommer -1 ifrån, osv"

När du har lärt dig detta så behöver du inte hålla på och "räkna med k" utan du "ser direkt" att det är -6 som den andra ekvationen behöver multipliceras med.

Är du med på det? Annars måste vi gå igenom det noggrannare.

Avslutning
=======

Nu när du har blivit av med y så är det enkelt att räkna ut z. z = -8/-8 = 1

Sen stoppar du in z=1 i den andra ekvationen

y + z = 4
y + 1 = 4
y = 3

Om du verkligen har förstått det här förenklade exemplet, där jag skippade x, så kan du gå tillbaka till ursprungsproblemet och tillämpa "Kunskap 1", "Kunskap 2" och "Kunskap".

Men om det fortfarande är något som är oklart är det bättre om du stannar kvar vid detta exempel tills någon har förklarat mer om det behövs. Det hjälper inte att hoppa till ett annat tal.

Lycka till!

Tack så mycket för din hjälp!

Jag har ytterligare med följdfrågor.



1.
(y+z) * k = 4 * k
k*y + k*z = 4*k

Hur kommer denna del ifrån som är lämpligt att använda i detta sammanhang? Jag har inte varit med om en sådan situation. Detta är helt nytt från min sida. Det känns att denna formel eller liknande dök upp från ingenstans.



2.
x + 6y - 2z + (k*y + k*z) = 16+(4*k)
x + (6+k)y + (k-2)z = 16+4k

x + (6+-6)y + (-6-2)z = 16+(4*-6)
x + 0y -8z = -8
x + -8z = -8

Från ansnitt1.pdf sida 4 så blir det"x - 8z = 3" till skillnad från kakylen ovanför. Vad är det som fattas?

1. Det där med att "räkna ut k" var bara ett sätt från min sida att förklara för dig "varifrån -6 kom".
Ett annat sätt att komma fram till -6 på är att dividera faktorn framför y (dvs 6) i den första ekvationen (6y - 2z = 16) med faktorn framför y (dvs 1) i den andra ekvationen (1y + z = 4).
Du får då 6/1 = 6. Byt slutligen tecken på detta och du får -6.
Nu har du fått två olika sätt att komma fram till -6, vilket du använder spelar ingen roll.

2. Jag förenklade exemplet så att det inte innehåller något x. Du kan alltså inte jämföra med ursprungstalet. När du har förstått det förenklade exemplet så kan du gå tillbaka till ursprungstalet. Men om du inte har förstått det förenklade exemplet med två obekanta, y och z, så är det ingen mening med att försöka förstå exemplet med tre obekanta.

Jag förstår och tack för hjälpen!