Variabelseparation

2015-06-06, 12:41 #1

Medlem

Reg: Aug 2009

Inlägg: 1 554

Uppgiften

Kod:

u't=u''xx,       0≤x≤2, t>0
u(0,t) = u(2,t) = 0,   t>0
u(x,0) = sin(2*pi*x)cos(pi*x), 0≤x≤2

Börjar med antagandet u(x,t)=X(x)T(t)

Får då

u't=X(x)T'(t)
u''xx= X''(x)T(t)

Skriver då om det som

Kod:

X''(x)    T'(t)
----- = ----- = λ
X(x)     T(t)

Multiplicerar upp X(x) till lambda, samma sak med T(t)
Får då två ekvationer

X''(x)=λX(x)
T'(t)=λT(t)

MEN! enligt facit får de

X''(x)=λX(x)
T'(t)=2λT(t)

Var kommer 2an från? Det är en värmeledningsekvation om det har någon betydelse...

Citera

2015-06-06, 22:02 #2

Medlem

Reg: Sep 2010

Inlägg: 11 186

Citat:

Ursprungligen postat av Bomben1

Uppgiften

Kod:

u't=u''xx,       0≤x≤2, t>0
u(0,t) = u(2,t) = 0,   t>0
u(x,0) = sin(2*pi*x)cos(pi*x), 0≤x≤2

Börjar med antagandet u(x,t)=X(x)T(t)

Får då

u't=X(x)T'(t)
u''xx= X''(x)T(t)

Skriver då om det som

Kod:

X''(x)    T'(t)
----- = ----- = λ
X(x)     T(t)

Multiplicerar upp X(x) till lambda, samma sak med T(t)
Får då två ekvationer

X''(x)=λX(x)
T'(t)=λT(t)

MEN! enligt facit får de

X''(x)=λX(x)
T'(t)=2λT(t)

Var kommer 2an från? Det är en värmeledningsekvation om det har någon betydelse...

Om man tar en titt på Wikipediaartikeln om värmeledningsekvationen (specifikt under "Solving the heat equation using Fourier series") så misstänker jag att du förmodligen tappat en tvåa i den ursprungliga differentialekvationen. Dubbelkolla om det kanske egentligen står u't=2u''xx, för i så fall är det förklaringen.

Citera

2015-06-07, 10:44 #3

Medlem

Reg: Aug 2009

Inlägg: 1 554

Jag börjar tro att det är ett skrivfel i facit, de verkar inte använda 2an när de får Tn(t). Tack iallafall!

Citera

Variabelseparation

Stöd Flashback