Rymdhisskompromiss

En populär science-fictionide är ju att sänka ner en lång superstark kabel från en fästpunkt i geostationär bana till en punkt vid ekvatorn. Kabeln kommer att rotera runt jorden synkront och kan användas för att klättra på för att ta upp laster.

Den geostationära punkten i rymden ligger vansinnigt långt bort och kabeln blir otroligt lång. För att göra det hela något mer ekonomiskt säg att man förkortar kabeln och sänker ner den från en fästpunkt närmare jorden. Nu uppstår ett problem att kabeln inte kommer att var synkron med jordrotationen längre utan kommer att färdas framåt med en hastighet beroende på avståndet till fixpunkten.

Säg att man har en fästpunkt som gör att kabeln kommer att färdas med dubbla ljudhastigheten, det innebär att man inte kan sänka ner den till jordatmosfären utan som lägst kan befinna sig ca 100km upp.

För att nå till den lägsta punkten på kabeln skulle man alltså behöva en farkost som kan nå till 100km höjd samt färdas i dubbla ljudhastigheten, sen kan den docka med kabelns ände. Detta är fortfarande betydligt enklare än att nå omloppshastighet som är 10 ggr fortare.

Hur lång skulle kabeln behöva vara för att detta skulle vara genomförbart?

Den geostationära omloppsbanan är ca 35 790 km direkt ovanför ekvatorn, så ditt snöre blir då 100km kortare.

"Fästpunkten" skulle ju inte vara i geostationär bana utan lägre.

Precis. Man ska hitta den banradie där skillnaden i hastigheten är sådan att minus jordrotationen i en vektor vinkelrätt upp blir dubbla ljudhastigheten.

Nedre punkten
c = ljudhastigheten, r = jordradien + 100km
w = vinkelhastighet

w r = 2c
w = 2c/r

Satelliten:
m = satellitens massa, M = jordens massa, R = satellitens avstånd från jordens centrum, v = satellitens hastighet
m v^2/R = GMm/R^2 ....... (*)
v = w R
R^3 = GM/w^2 = GM × r^2/(2c)^2

Kabelns längd = R - r, sätt in siffror och räkna...

Kritik mot ovanstående enkla modell:

Kabeln väger nog en hel del! Denna tyngd måste in som en extra term i högerledet i (*). Men om satellitens massa är mycket större än kabelns kan detta bidrag försummas.

Vidare kommer det ju bli ett luftmotstånd på kabeln som dras genom (den iofs tunna) luften med dubbla ljudhastigheten, och även det ger en extra kraft i högerledet i (*). Och så är ju denna kraft horisontell, vilket gör att kabeln kommer att hänga snett och inte rakt ned. Går förstås att räkna på, men det blir iaf lite mer komplicerat.

Ska räkna på detta i helgen.

En sak man kan fundera på är vad som händer om det inte finns någon förankringspunkt på jordytan. Det kan ju tänkas att hela systemet inte går att få i balans när en extra massa hakas på längst nere. Antingen driver den utåt eller så faller den successivt ner mot jordytan.

Det har ju gjorts försök med att "hänga" satelliter i kablar från farkoster i omloppsbana, så det är väl åtminstone i teorin genomförbart. Frågan är hur du ska komma upp de där 100 kilometrarna på billigast möjliga sätt, och hur stabilt hela systemet blir.

Jag tänkte 100km vore en lagom gräns eftersom det är där atmosfären precis slutar. Att komma upp i dubbla ljudhastigheten upp till 100km höjd är förhållandevis enkelt. Virgin Galactic och några till privatspelare har ju lyckats med det. Ett smart dockningssystem behöver utvecklas.

Men jag ställe mig också frågande hur stabilt systemet blir. Jag misstänker att hela systemet kommer att börja driva lätt. Konceptet med rymdhiss ner till jordytan har ju fördelen att den kan förankras en stor vikt så att det hela tiden finns en uppgående dragspänning.

Glömde förut att ta hänsyn till jordens egen rotation. Ekvatorn rör sig ju med 40 000 km / 24 h = 463 m/s och utöver det ska nu alltså den lägre ändan röra sig med dubbla ljudhastigheten.

(En lite kul insikt är att vanliga passagerarflygplan faktiskt rör sig bakåt [i en ickeroterande referensram] när de flyger västerut över ekvatorn.)

Det där med stabiliteten tycker jag verkar intressant. Men med den nedre ändans friktion mot luften måste ju systemet hela tiden tappa energi och därmed höjd, vilket det iaf måste kompenseras för då och då med raketer. Att atmosfären bara når 100 km upp är ju inte riktigt sant. ISS ligger ju ca 4 gånger högre och tappar ändå 2 km i höjd per månad.
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Inter..._Space_Station

Men vad händer med stabiliteten om luften - hypotetiskt - inte fanns där? Om man bara har en satellit är det enkelt. Såna går runt i ellipsbanor och kan varken sticka iväg eller ramla ned, utan yttre påverkan av något slag. Men i det har fallet har vi ju ett system med massa på olika höjd. Inte så självklart då vad som händer.