Få ut funktionen för en andragradsekvation

Hej!
Låt oss säga att vi har en bild på en andragradsekvation i ett koordinatsystem. Hur ska man gå tillväga för att få ut själva funktionen för ekvationen?

Vi har y = a * x^2 + b * x + c. Vi vill bestämma a, b, c.

Välj 3st punkter på funktionskurvan, (x1,y1) (x2, y2) (x3,y3)
Sätt in i uttrycket för funktionen. Få ett ekvationssystem för a,b,c

x1^2 * a + x1 * b +c = y1
x2^2 * a + x2 * b +c = y2
x3^2 * a + x3 * b +c = y3

Lös ekvationssystemt med gausseliminering. Extra lätt blir det om du kan se värdet för x=0, då får du direkt ut vad c blir.

Den där metoden kan förbättras. Problemet är att varje punkt har mätfel (eller avläsningsfel), och att bara tre mätningar ger ganska dålig statistik.. Välj istället ut t ex 9 punkter (här väljer jag 9 av typografiska skäl) och skriv upp motsvarande ekvationssystem för dessa. Och så är vi tydliga med att varje y-värde har ett litet mätfel ε, och antar att dessa mätfel är små slumptal. Vi får då:

x1^2 * a + x1 * b +c + ε1 = y1
x2^2 * a + x2 * b +c + ε2 = y2
...
x9^2 * a + x9 * b +c + ε9 = y9

Detta kan skrivas som
E = Y - M C
där C är en kolumnmatris med de sökta konstanterna, Y är en kolumnmatris med y-värdena, E är en kolumnmatris med alla de hittills okända felen εi, och M är matrisen
| x1^2 x1 1 |
| x2^2 x2 1 |
...
| x9^2 x9 1 |

Summan av kvadraterna på felen ges då av (där ' står för transponat):

E' E = (Y - M C)' (Y - M C)

Högerledet är ett kvadratiskt uttryck i de okända koefficienterna a, b, c (eller fler!), och om vi lyckas finna viken vektor C som minimerar uttrycket så har vi också minimerat summan av kvadraterna på felen! Metoden kallas därför, förstås, för minsta kvadratmetoden.

Svaret blir iaf:

C = (M' M)^(-1) M' Y

Fuskhärledning:
M C = Y
M' M C = M' Y
Notera att M' M är en kvadratisk och symmetrisk matris...
C = (M' M)^(-1) M' Y

Om du har med min (eller max) punkten är saken enkel. Utgå från den, dvs flytta origo, och mät Y värdet för X=1, ex = a. Då har du ekvationen som Y=ax^2 klar. Prova sedan med ett annat X och se hur det stämmer. Justera din gissning tills du får en bra approximation.
Men de andra svaren är ju rätt, men kanske passar mer om du har samlat mätdata. Och om du inte känner - eller kan gissa - min eller max.